[论文解读] Asymptotic behavior of positive solutions to a nonlinear biharmonic equation near isolated singularities

Hui Yang|arXiv (Cornell University)|Dec 16, 2018

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 24被引用 4

一句话总结

该论文研究了在 $ n \geq 5 $ 且 $ \frac{n}{n-4} < p < \frac{n+4}{n-4} $ 条件下，非线性双调和方程 $\Delta^2 u = u^p$ 在穿孔球 $B_1 \setminus \{0\} \subset \mathbb{R}^n$ 中正解的渐近行为，证明了孤立奇点要么可去，要么表现出精确的幂律衰减 $|x|^{-4/(p-1)}$，并给出了显式常数 $C_{p,n}$。分析过程未对 $-\Delta u$ 做任何符号假设，引入了一种新颖的正则性提升方法，以克服高阶方程中缺乏最大值原理的问题。

ABSTRACT

In this paper, we consider the asymptotic behavior of positive solutions of the biharmonic equation $$ Δ^2 u = u^p~~~~~~~in ~ B_1 \backslash \{0\}$$ with an isolated singularity, where the punctured ball $B_1 \backslash \{0\} \subset \mathbb{R}^n$ with $n\geq 5$ and $\frac{n}{n-4} &lt; p &lt; \frac{n+4}{n-4}$. This equation is relevant for the $Q$-curvature problem in conformal geometry. We classify isolated singularities of positive solutions and describe the asymptotic behavior of positive singular solutions without the sign assumption for $-Δu$. We also give a new method to prove removable singularity theorem for nonlinear higher order equations.

研究动机与目标

• 对 $ n \geq 5 $ 且 $ \frac{n}{n-4} < p < \frac{n+4}{n-4} $ 的条件下，在 $ B_1 \setminus \{0\} $ 中对双调和方程 $\Delta^2 u = u^p$ 的正解的孤立奇点进行分类。
• 在不假设 $-\Delta u$ 符号条件的前提下，确定正奇异解在原点附近的精确渐近行为。
• 为证明非线性高阶椭圆方程中的可去奇点定理，提出一种新方法。
• 将奇异解的分类结果推广至非径向对称情形，且不依赖于最大值原理或截断技术。

提出的方法

• 基于双调和算子的格林函数 $G_2(x,y)$ 的积分表示，提出一种新颖的正则性提升技术。
• 将势函数 $a(x) = u^{p-1}$ 分解为大部和小部 ($a_L$, $a_M$)，以在 $L^q$ 空间中控制非线性项。
• 应用 Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式与 Hölder 不等式，证明当 $L$ 足够大时，线性算子 $T_L w = \int G_2(x,y) a_L(y) w(y) dy$ 在 $L^q(B_{1/4})$ 上是压缩映射。
• 通过迭代改进 $L^q$ 可积性估计，从初始的 $L^r$ 可积性逐步提升至所有 $1 < q < \infty$，从而建立 $u \in L^\infty(B_{1/4})$。
• 应用椭圆正则性理论，得出 $u$ 在原点处光滑，从而说明奇点是可去的。
• 推导出精确的渐近速率 $\lim_{|x| \to 0} |x|^{4/(p-1)} u(x) = C_{p,n}$，其中 $C_{p,n} = \left[K_0(p,n)\right]^{1/(p-1)}$，且 $K_0(p,n)$ 显式给出。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $ \mathbb{R}^n $（$ n \geq 5 $）中，对于方程 $\Delta^2 u = u^p$，在原点处存在孤立奇点时，正解的精确渐近行为是什么？且不假设 $-\Delta u$ 的符号？
• RQ2 能否在不依赖最大值原理或截断方法的前提下，证明非线性四阶方程的可去奇点定理？
• RQ3 奇异解的渐近衰减速率如何依赖于指数 $p$ 和维度 $n$？
• RQ4 双调和方程孤立奇点的分类是否与已充分理解的二阶情形类似，即使在非径向对称条件下？

主要发现

• 正奇异解的渐近行为为 $\lim_{|x| \to 0} |x|^{4/(p-1)} u(x) = C_{p,n} > 0$，其中 $C_{p,n} = \left[K_0(p,n)\right]^{1/(p-1)}$，且 $K_0(p,n)$ 由 $p-1$ 的四次表达式显式给出。
• 原点处的奇点要么可去，要么 $u$ 在原点附近的行为如 $C_{p,n} |x|^{-4/(p-1)}$，且无需对 $-\Delta u$ 做任何额外假设。
• 本文提出了一种新方法，用于证明高阶非线性方程的可去奇点定理，避免了最大值原理和截断技术的使用。
• 证明了 $u$ 属于 $L^q(B_{1/4})$ 对所有 $1 < q < \infty$ 成立，结合椭圆正则性理论，说明 $u$ 在原点处光滑，因此奇点是可去的。
• 该结果将双调和方程奇异解的分类推广至类似于二阶情形的范围，即使在非径向对称条件下也成立。
• 该方法通过使用积分估计与迭代 $L^q$ 自举法，成功处理了四阶方程中缺乏最大值原理的问题。