[论文解读] Asymptotic behaviour of first passage time distributions for Lévy processes

R. A. Doney, Víctor Rivero|arXiv (Cornell University)|Jul 22, 2011

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 15被引用 4

一句话总结

本文為穩定分佈吸引域內的 Lévy 过程的首 hitting 時間分佈建立了精確的漸近估計，區分連續與不連續穿越兩種類型。文章推導了在 $$\mathbb{P}_x$$ 下首 hitting 時間密度的局部極限定理，顯示其漸近行為取決於穩定指數 $\alpha$、正性參數 $\rho$，以及 ladder 高度過程中是否存在正漂移，且收斂速率與縮放函數 $c(t)$ 和極限定穩分佈在零點的密度相關。

ABSTRACT

Let $X$ be a real valued Lévy process that is in the domain of attraction of a stable law without centering with norming function $c.$ As an analogue of the random walk results in \cite{vw} and \cite{rad} we study the local behaviour of the distribution of the lifetime $ζ$ under the characteristic measure $\underline{n}$ of excursions away from 0 of the process $X$ reflected in its past infimum, and of the first passage time of $X$ below $0,$ $T_{0}=\inf \{t>0:X_{t}<0\},$ under $\mathbb{P}_{x}(\cdot),$ for $x>0,$ in two different regimes for $x,$ viz. $x=o(c(\cdot))$ and $x>D c(\cdot),$ for some $D>0.$ We sharpen our estimates by distinguishing between two types of path behaviour, viz. continuous passage at $T_{0}$ and discontinuous passage. In the way to prove our main results we establish some sharp local estimates for the entrance law of the excursion process associated to $X$ reflected in its past infimum.

研究动机与目标

• 分析實值 Lévy 過程在穩定分佈吸引域內的首 hitting 時間分佈在零以下的局部漸近行為。
• 區分首 hitting 時間的連續與不連續穿越，因其路徑行為導致不同的分佈性質。
• 在 $\mathbb{P}_x$ 下建立首 hitting 時間密度的精確局部極限定理，特別是在 $x = o(c(t))$ 和 $x > Dc(t)$（$D > 0$）的區域，以及在特徵測度 $\underline{n}$ 下的過度軌跡壽命。
• 推導首 hitting 時間密度的精確漸近表達式，包含極限定穩分佈在零點的密度與縮放函數 $c(t)$。

提出的方法

• 作者使用波動理論與 ladder 過程理論，專注於下坡 ladder 高度過程 $H^*$ 及其相關的縮放函數 $U^*$。
• 他們透過事件 $C_0 = \{X(T_0-) = 0\}$ 將首 hitting 時間分佈分解為連續穿越 ($C_0$) 和不連續穿越的貢獻，以分離路徑類型。
• 分析依賴於反射過程在過去下確界處的過度軌跡進入律的精確局部估計，使用縮放函數 $c(t)$ 和 $\underline{n}(\zeta > t)$ 的正則變異行為。
• 關鍵估計涉及 ladder 高度分佈的密度 $g^*$ 和函數 $\theta(s,y)$，後者捕捉過度測度的局部行為。
• 作者應用 Tauberian 與 Abelian 定理，將 $\underline{n}(\zeta > t)$ 的漸近行為（其正則變異指數為 $-\overline{\rho}$）與首 hitting 時間密度關聯。
• 他們利用雙變量 ladder 過程的函數極限定理，推導首 hitting 時間密度的漸近行為，特別是在 $\alpha\overline{\rho} < 1$ 和 $\alpha\overline{\rho} = 1$ 的情況下。

实验结果

研究问题

• RQ1 當時間 $t \to \infty$ 時，處於穩定分佈吸引域內的 Lévy 過程的首 hitting 時間分佈的漸近行為如何，特別是在 $x = o(c(t))$ 和 $x > Dc(t)$ 時？
• RQ2 首 hitting 時間的路徑類型——連續與不連續穿越——在決定 $T_0$ 的密度存在性與形式中起何種作用？
• RQ3 首 hitting 時間密度的漸近行為如何依賴於極限定穩分佈在零點的密度 $f(0)$ 與縮放函數 $c(t)$？
• RQ4 當 ladder 高度過程具有正漂移 ($d^* > 0$) 時，首 hitting 時間密度的精確漸近行為為何？與 $d^* = 0$ 時有何不同？
• RQ5 在 $\alpha\overline{\rho} = 1$ 時，首 hitting 時間密度的確切漸近形式為何？其與常數 $k_6 k_7$ 的關係為何？

主要发现

• 對於 $X \in D(\alpha, \rho)$ 且 $\alpha\overline{\rho} < 1$，首 hitting 時間密度滿足 $t \mathbb{P}_x(T \in (t, t+\Delta]) \sim \Delta k_6 \tilde{h}_{x_t}(1)$，其中 $\tilde{h}_{x_t}(1)$ 為時間 1 時極限定穩分佈的密度。
• 當 $\alpha\overline{\rho} = 1$ 時，漸近行為為 $t \mathbb{P}_x(T \in (t, t+\Delta]) \sim \Delta k_6 k_7 \tilde{h}_{x_t}(1)$，其中 $k_6 k_7 = p = d^*/(d^* + L(\infty))$ 若 $d^* > 0$，且 $k_6 k_7 = 1$ 若 $d^* = 0$。
• 首 hitting 時間密度存在，且在不連續穿越時漸近等價於 $k_6 \tilde{h}_{x_t}(1)$；而在連續穿越時，當 $d^* > 0$ 時可能為奇異，因此需分別處理。
• 在 $\underline{n}$ 下，過度軌跡壽命 $\zeta$ 的漸近行為滿足 $\underline{n}(\zeta > t) \in RV(-\overline{\rho})$，其局部行為透過對反射過程的進入律的精確估計推導得出。
• 證明常數 $k_6$ 滿足 $k_6 \sim C \cdot \frac{U^*(c(t))}{c(t) \underline{n}(\zeta > t)}$，其中 $U^*$ 為 ladder 高度過程的縮放函數。
• 本文確認當 $\Pi((-∞, 0)) > 0$ 時，$th_x(t) \to p \tilde{h}_{x_t}(1)$ 當 $t \to \infty$，且對 $x_t \in [D^{-1}, D]$ 一致成立，從而確立首 hitting 時間密度的函數極限定理。