[论文解读] Asymptotic Chow polystability in Kähler geometry

Akito Futaki|arXiv (Cornell University)|May 24, 2011

Geometry and complex manifolds参考文献 34被引用 10

一句话总结

本文研究了凯勒几何中渐近 Chow 多稳定性与常数量曲率凯勒（cscK）度量存在性之间的关系。研究证明，对于某些凯勒爱因斯坦流形——特别是环面 Fano 7-流形和复曲面——渐近 Chow 多稳定性不成立，从而否定了 cscK 度量蕴含渐近 Chow 稳定性这一关键猜想。结果表明，当自守群非离散时，唐纳森定理失效，挑战了在该情形下平衡度量会收敛至 cscK 度量的预期。

ABSTRACT

It is conjectured that the existence of constant scalar curvature Kähler metrics will be equivalent to K-stability, or K-polystability depending on terminology (Yau-Tian-Donaldson conjecture). There is another GIT stability condition, called the asymptotic Chow polystability. This condition implies the existence of balanced metrics for polarized manifolds $(M, L^k)$ for all large $k$. It is expected that the balanced metrics converge to a constant scalar curvature metric as $k$ tends to infinity under further suitable stability conditions. In this survey article I will report on recent results saying that the asymptotic Chow polystability does not hold for certain constant scalar curvature Kähler manifolds. We also compare a paper of Ono with that of Della Vedova and Zuddas.

研究动机与目标

• 研究是否存在常数量曲率凯勒（cscK）度量的紧致凯勒流形是否满足渐近 Chow 多稳定性。
• 在自守群为离散的假设下，检验唐纳森定理（即 cscK 度量蕴含渐近 Chow 稳定性）的有效性。
• 识别出存在 cscK 度量但渐近 Chow 多稳定性不成立的反例，尤其关注自守群非离散的情形。
• 阐明在测试配置与旗理想爆破的背景下，渐近 Chow 稳定性、K-稳定性与 DF-不变量之间的关系。
• 调和文献中相互矛盾的结果，包括上野、德拉·韦多瓦-祖达斯与小高关于凯勒几何中稳定性条件的研究。

提出的方法

• 利用 MUMFORD 权重与 Chow 形式，通过 SL(H⁰(Lᵏ)) 在全纯截面空间对称幂上的作用，定义渐近 Chow 稳定性。
• 应用 Wang 与 Odaka 提供的 DF-不变量公式，计算通过在 M×ℂ 上爆破旗理想所获得的半测试配置的稳定性不变量。
• 利用紧化爆破上的交点理论分析 DF-不变量的符号，特别是 (M×ℙ¹, L(−E)) 的情形，其中 E 为例外除子。
• 通过 DF-不变量 F₁(M,L) 表达 Chow 权重 eᵣ 的渐近展开，表明当 r 足够大时 eᵣ ≤ 0 意味着 F₁ ≤ 0。
• 利用 Gorenstein 半测试配置上 DF-不变量的负性来表征 K-稳定性，以检验稳定性条件。
• 比较上野-佐野-吉田、德拉·韦多瓦-祖达斯与小高的结果，识别出 K-稳定或凯勒-爱因斯坦流形在渐近 Chow 多稳定性上失败的情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于自守群非离散的极化流形，常数量曲率凯勒度量的存在是否蕴含渐近 Chow 多稳定性？
• RQ2 能否构造出 K-稳定或凯勒-爱因斯坦流形，其虽满足 K-稳定性但不满足渐近 Chow 多稳定性？
• RQ3 在旗理想导出的测试配置中，DF-不变量与 Chow 权重的渐近行为如何？这对稳定性有何含义？
• RQ4 当 Aut(M,L) 非离散时，唐纳森关于平衡度量收敛至 cscK 度量的定理在多大程度上失效？
• RQ5 是否存在 K-稳定或凯勒-爱因斯坦轨道流形为渐近 Chow 不稳定的情形？这对 Yau-Tian-Donaldson 猜想有何启示？

主要发现

• 根据上野-佐野-吉田的研究，存在一个环面 Fano 7-流形，其为凯勒-爱因斯坦但非渐近 Chow-半稳定，这与 cscK 度量蕴含渐近 Chow 稳定性的预期相矛盾。
• 德拉·韦多瓦与祖达斯构造了常数量曲率凯勒曲面的反例，表明即使在复维数为 2 时，稳定性条件也可能失效。
• 小高证明了某些具有有限自守群的 K-稳定凯勒-爱因斯坦轨道流形为渐近 Chow 不稳定，表明唐纳森定理中自守群为离散的条件至关重要。
• 通过定理 7.6 利用旗理想爆破计算的 DF-不变量，为 K-稳定性提供了充分条件，其负性可判定渐近 Chow 多稳定性失败。
• 渐近 Chow 权重 eᵣ 的符号与 DF-不变量 F₁(M,L) 的符号直接相关，且当 r 足够大时 eᵣ ≤ 0 意味着 F₁ ≤ 0，从而确认渐近 Chow 半稳定性蕴含 K-半稳定性。
• 本文确立了当 Aut(M,L) 非离散时，渐近 Chow 多稳定性并非 cscK 度量存在的必要条件，从而动摇了平衡度量收敛程序中的核心假设。