[论文解读] Asymptotic energy conservation in periodically driven many-body systems

Dmitry A. Abanin, Wojciech De Roeck+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2015

Quantum many-body systems被引用 1

一句话总结

本文为周期性驱动的量子自旋系统以及具有分离能标系统的预热化建立了一个严格的框架，表明在高频驱动下，有效局部哈密顿量 $\u02c7 D$ 在准指数时间 $\tau_* \sim e^{c \frac{\omega}{\log^3 \omega}}$ 内控制动力学，或在费米-哈伯德模型中，时间近似指数地依赖于 $U/J$。该有效哈密顿量在 $\tau_*$ 时间内作为守恒量存在，解释了能量非平衡的长寿命现象。

ABSTRACT

Prethermalization refers to the transient phenomenon where a system thermalizes according to a Hamiltonian that is not the generator of its evolution. We provide here a rigorous framework for quantum spin systems where prethermalization is exhibited for very long times. First, we consider quantum spin systems under periodic driving at high frequency $ u$. We prove that up to a quasi-exponential time $ au_* \sim e^{c \frac{ u}{\log^3 u}}$, the system barely absorbs energy. Instead, there is an effective local Hamiltonian $\hat D$ that governs the time evolution up to $ au_*$, and hence this effective Hamiltonian is a conserved quantity up to $ au_*$. Next, we consider systems without driving, but with a separation of energy scales in the Hamiltonian. A prime example is the Fermi-Hubbard model where the interaction $U$ is much larger than the hopping $J$. Also here we prove the emergence of an effective conserved quantity, different from the Hamiltonian, up to a time $ au_*$ that is (almost) exponential in $U/J$.

研究动机与目标

• 严格建立在高频驱动下，周期性驱动的量子自旋系统中预热化的存在性。
• 识别出一个有效局部哈密顿量 $\u02c7 D$，它在准指数时间 $\tau_*$ 内控制动力学。
• 将该框架扩展至无驱动但具有分离能标的系统，例如费米-哈伯德模型中 $U \gg J$ 的情形。
• 证明在长时间尺度上，一个与原始哈密顿量不同的守恒量出现。
• 以驱动频率 $\omega$ 或能标比值 $U/J$ 表示预热化时间 $\tau_*$ 的量化关系。

提出的方法

• 使用高频展开技术推导出一个有效哈密顿量 $\u02c7 D$，其在 $\tau_*$ 时间内近似时间演化。
• 应用对 Magnus 展开收敛性的严格界，以控制有效动力学中的误差。
• 建立预热化时间的准指数界 $\tau_* \sim e^{c \frac{\omega}{\log^3 \omega}}$，适用于高频驱动。
• 将该方法扩展至无驱动但具有分离能标的系统，如费米-哈伯德模型中 $U \gg J$ 的情形。
• 证明有效哈密顿量 $\u02c7 D$ 在 $\tau_*$ 时间内是守恒的，尽管它不同于原始哈密顿量。
• 利用谱隙估计和局域性界，确保有效哈密顿量保持局部性且具有物理意义。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否严格推导出一个有效哈密顿量，使其在准指数时间内控制周期性驱动的量子自旋系统的动力学？
• RQ2 预热化时间 $\tau_*$ 与驱动频率 $\omega$ 的精确标度关系是什么？
• RQ3 在无驱动但具有分离能标的系统中，如 $U \gg J$，是否会出现守恒量？
• RQ4 有效哈密顿量 $\u02c7 D$ 与原始哈密顿量有何不同？为何它在 $\tau_*$ 时间内是守恒的？
• RQ5 该框架能否扩展至如费米-哈伯德模型中 $U \gg J$ 的系统？

主要发现

• 在高频周期性驱动下，系统在时间 $\tau_* \sim e^{c \frac{\omega}{\log^3 \omega}}$ 内保持预热化，该时间在 $\omega$ 上呈准指数增长。
• 有效局部哈密顿量 $\u02c7 D$ 在 $\tau_*$ 时间内控制系统的演化，使其成为该时间内的守恒量。
• 在具有分离能标的系统中，如费米-哈伯德模型中 $U \gg J$ 的情形，一个有效守恒量在 $\tau_*$ 时间内出现，该时间在 $U/J$ 上近乎指数增长。
• 有效哈密顿量 $\u02c7 D$ 与原始哈密顿量不同，但在预热化窗口内控制动力学。
• 推导依赖于 Magnus 展开的严格界和谱隙估计，确保了有效描述的有效性。
• 该结果建立了一个理解量子多体系统中长寿命非平衡动力学的一般性框架。