[论文解读] Asymptotic expansions for profiles of lattice branching random walks

Rudolf Grübel, Zakhar Kabluchko|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2015

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 24被引用 3

一句话总结

本文为 ℤ 上的格点分支布朗运动的粒子分布建立了统一的几乎必然渐近展开式，将时间 n 时位置 k 处的粒子数 $ L_n(k) $ 表示为涉及累积量生成函数 $ \varphi $ 的导数与 Biggins 马氏链的高斯型展开式。该展开式对所有 $ k \in \mathbb{Z} $ 一致成立，并可推导出关于分布峰值、高度及占据数的新几乎必然极限定理。

ABSTRACT

Consider a branching random walk on $\mathbb Z$ in discrete time. Denote by $L_n(k)$ the number of particles at site $k\in\mathbb Z$ at time $n\in\mathbb N_0$. By the profile of the branching random walk (at time $n$) we mean the function $k\mapsto L_n(k)$. We establish the following asymptotic expansion of $L_n(k)$, as $n o\infty$: $$ e^{-\varphi(0)n} L_n(k) = \frac{e^{-\frac 12 x_n^2}}{\sqrt {2\pi \varphi''(0) n}} \sum_{j=0}^r \frac{F_j(x_n)}{n^{j/2}} + o(n^{-\frac{r+1}{2}}) ext{ a.s.}, $$ where $r\in\mathbb N_0$ is arbitrary, $\varphi(\beta)=\log \sum_{k\in\mathbb Z} e^{\beta k} \mathbb E L_1(k)$ is the cumulant generating function of the intensity of the branching random walk and $$ x_n = x_n(k) = \frac{k-\varphi'(0) n}{\sqrt{\varphi''(0)n}}. $$ The expansion is valid uniformly in $k\in\mathbb Z$ with probability $1$ and the $F_j$'s are polynomials whose random coefficients can be expressed through the derivatives of $\varphi$ and the derivatives of the limit of the Biggins martingale at $0$. Using exponential tilting, we establish also more general expansions covering the whole range of the branching random walk except its extreme values. As an application of this expansion for $r=0,1,2$ we recover in a unified way a number of known results and establish many new limit theorems. In particular, we study the a.s. behavior of the individual occupation numbers $L_n(k_n)$, where $k_n\in\mathbb Z$ depends on $n$ in some regular way. We also prove a.s. limit theorems for the mode $ ext{argmax}_{k\in\mathbb Z} L_n(k)$ and the height $ ext{max}_{k\in\mathbb Z} L_n(k)$ of the profile. The asymptotic behavior of these quantities depends on whether the drift parameter $\varphi'(0)$ is integer, non-integer rational, or irrational. Applications of our results to profiles of random trees including binary search trees and random recursive trees will be given in a separate paper.

研究动机与目标

• 推导 ℤ 上分支布朗运动分布 $ L_n(k) $ 的统一几乎必然渐近展开式。
• 刻画当 $ n \to \infty $ 时最大占据数 $ \max_k L_n(k) $ 与模式 $ \arg\max_k L_n(k) $ 的几乎必然行为。
• 分析漂移参数 $ \varphi'(0) $（整数、非整数有理数或无理数）如何影响分布极值特征的渐近行为。
• 通过指数倾斜法将展开式扩展至分支布朗运动的整个范围（排除极端值）。
• 统一并推广在 $ k_n $ 关于 $ n $ 的正则依赖下，占据数 $ L_n(k_n) $ 的已知极限定理。

提出的方法

• 利用累积量生成函数 $ \varphi(\beta) = \log \sum_k e^{\beta k} \mathbb{E} L_1(k) $，推导 $ e^{-\varphi(0)n} L_n(k) $ 的渐近展开式。
• 将展开式表示为归一化位置变量 $ x_n = \frac{k - \varphi'(0)n}{\sqrt{\varphi''(0)n}} $ 的形式，其形式类似于高斯密度。
• 利用 Biggins 马氏链在 $ \beta = 0 $ 处的极限及其导数，定义多项式展开中的随机系数 $ F_j(x_n) $。
• 应用指数倾斜法，将渐近展开扩展至中心极限区域之外，覆盖 $ k $ 的全部范围（仅排除极端尾部）。
• 建立展开式在 $ k \in \mathbb{Z} $ 上几乎必然一致收敛，对任意固定的 $ r \in \mathbb{N}_0 $ 成立。
• 利用该展开式，推导出关于模式、高度及个体占据数 $ L_n(k_n) $ 的几乎必然极限定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ n \to \infty $ 时，分布 $ L_n(k) $ 在 $ k \in \mathbb{Z} $ 上的渐近行为如何，且是否一致？
• RQ2 最大占据数 $ \max_k L_n(k) $ 的几乎必然渐近行为是什么？其如何依赖于漂移 $ \varphi'(0) $？
• RQ3 模式 $ \arg\max_k L_n(k) $ 几乎必然随 $ n \to \infty $ 如何演化？其有理性的性质起到什么作用？
• RQ4 渐近展开是否可扩展至中心范围之外，以覆盖整个分布，包括尾部？
• RQ5 当 $ k_n $ 随 $ n $ 以正则方式增长时，占据数 $ L_n(k_n) $ 的几乎必然行为如何？

主要发现

• 分布 $ L_n(k) $ 允许统一的几乎必然渐近展开式：$ e^{-\varphi(0)n} L_n(k) = \frac{e^{-\frac{1}{2}x_n^2}}{\sqrt{2\pi \varphi''(0)n}} \sum_{j=0}^r \frac{F_j(x_n)}{n^{j/2}} + o(n^{-(r+1)/2}) $，对任意 $ r \in \mathbb{N}_0 $ 成立。
• 该展开式以概率 1 在 $ k \in \mathbb{Z} $ 上一致成立，且系数 $ F_j $ 为由 Biggins 马氏链与 $ \varphi $ 导出的随机系数的多项式。
• 当 $ r = 0,1,2 $ 时，该展开式恢复并统一了已知的占据数极限定理，并可推导出关于分布峰值与高度的新几乎必然极限定理。
• $ \max_k L_n(k) $ 与 $ \arg\max_k L_n(k) $ 的几乎必然行为，关键取决于 $ \varphi'(0) $ 是否为整数、非整数有理数或无理数。
• 通过指数倾斜法，展开式被扩展至覆盖 $ k $ 的全部范围，仅排除分支布朗运动的极端尾部。
• 本结果为分析随机树（如二叉搜索树与随机递归树）的分布提供了基础，相关应用将在后续论文中进一步展开。