[论文解读] Asymptotic Lower Bounds for Optimal Tracking: a Linear Programming Approach

Jiatu Cai, Mathieu Rosenbaum+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 14, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 30被引用 5

一句话总结

本文通过线性规划方法，建立了针对连续伊藤半鞅目标最优跟踪的渐近下界。通过使用局部时测度和布朗运动的时间平均控制建模跟踪成本，推导出对各种成本结构（包括脉冲、奇异和常规控制）具有显式可计算性的确定性下界。

ABSTRACT

We consider the problem of tracking a target whose dynamics is modeled by a continuous Itō semi-martingale. The aim is to minimize both deviation from the target and tracking efforts. We establish the existence of asymptotic lower bounds for this problem, depending on the cost structure. These lower bounds can be related to the time-average control of Brownian motion, which is characterized as a deterministic linear programming problem. A comprehensive list of examples with explicit expressions for the lower bounds is provided.

研究动机与目标

• 建立涉及连续伊藤半鞅的最优跟踪问题的渐近下界。
• 将布朗运动的时间平均控制表征为一个确定性的线性规划问题。
• 提供不同控制类型（脉冲、奇异和常规控制）下界表达式的显式形式。
• 通过统一的局部时测度框架，整合金融与控制应用中跟踪成本的分析。
• 提供一种系统化的方法，用于推导对成本结构变化（包括固定与比例成分）具有鲁棒性的下界。

提出的方法

• 将跟踪问题表述为在有限时间范围内最小化偏离惩罚与控制成本的组合。
• 将目标动态建模为具有漂移与扩散系数的连续伊藤半鞅。
• 通过三类控制策略表示控制方法：脉冲控制（离散跳跃）、奇异控制（有界变差）和常规控制（绝对连续）。
• 引入局部时测度以描述受控过程在状态空间中的长期分布。
• 通过时间平均化与稳定收敛技术，将渐近跟踪问题转化为确定性线性规划问题。
• 应用稳定收敛与概率测度弱收敛理论，推导控制策略与成本泛函的极限。

实验结果

研究问题

• RQ1 当目标遵循连续伊藤半鞅时，最优跟踪的渐近下界是什么？
• RQ2 如何将布朗运动的时间平均控制表述为一个确定性的线性规划问题？
• RQ3 在具有固定与比例成本的脉冲控制中，下界的显式表达式是什么？
• RQ4 在不同成本函数下，奇异控制与常规控制框架中的下界有何差异？
• RQ5 局部时测度方法能否统一不同控制类型下跟踪成本的分析？

主要发现

• 基于时间平均局部时测度的线性规划公式，推导出最优跟踪的渐近下界。
• 下界具有显式可计算性，且依赖于成本结构，包括脉冲控制中的固定与比例成分。
• 对于奇异控制，下界由涉及控制方向与累积变差的线性规划问题求解确定。
• 在常规控制中，下界源于对控制速度的时间平均优化，成本泛函在控制速率上为二次型。
• 该框架在脉冲、奇异与常规控制中统一适用，为下界分析提供了统一方法。
• 结果具有鲁棒性，可扩展至随机权重过程与一般凸成本函数，包括二次型与L1型惩罚。