[论文解读] Asymptotic of densities of exponential functionals of subordinators

Martin Minchev, Mladen Savov|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2021

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 35被引用 4

一句话总结

本文在 Lévy 测度满足正增长条件的假设下，建立了亚次过程指数泛函的尾部、密度及其导数的非经典 Tauberian 渐近性质。通过改进应用于通过 Bernstein-gamma 函数表达的 Mellin 变换的鞍点法，推导出精确的渐近行为——表明非减复合泊松过程的指数泛函的密度与指数分布的密度一致，并且此类密度中的许多在复锥形区域内解析。

ABSTRACT

In this paper we derive non-classical Tauberian asymptotic at infinity for the tail, the density and the derivatives thereof of a large class of exponential functionals of subordinators. More precisely, we consider the case when the Levy measure of the subordinator satisfies the well-known and mild condition of positive increase. This is achieved via a convoluted application of the saddle point method to the Mellin transform of these exponential functionals which is given in terms of Bernstein-gamma functions. To apply the saddle point method we improved the Stirling type of asymptotic for Bernstein-gamma functions and the latter is of interest beyond this paper as the Bernstein-gamma functions are applicable in different settings especially through their asymptotic behaviour in the complex plane. As an application we have derived the asymptotic of the density and its derivatives for all exponential functionals of non-decreasing, potentially compound Poisson processes which turns out to be precisely as that of an exponentially distributed random variable. We show further that a large class of densities are even analytic in a cone of the complex plane.

研究动机与目标

• 推导亚次过程指数泛函的尾部、密度及其导数的渐近展开式。
• 在 Lévy 测度满足正增长条件的假设下，建立无穷远处的非经典 Tauber 定理。
• 将鞍点法的应用范围扩展至涉及 Bernstein-gamma 函数的 Mellin 变换。
• 刻画此类密度在复平面上的解析性性质。
• 证明非减复合泊松过程的指数泛函表现出指数型尾部衰减。

提出的方法

• 将鞍点法应用于以 Bernstein-gamma 函数表示的指数泛函的 Mellin 变换。
• 在复平面上发展 Bernstein-gamma 函数的精细 Stirling 型渐近展开。
• 利用 Lévy 测度的正增长条件以确保渐近行为的正则性。
• 采用解析延拓与路径变形技术以计算逆 Mellin 变换。
• 利用亚次过程及其 Laplace 指数的结构推导密度的渐近性质。
• 通过鞍点展开的统一有界性验证密度在复平面上某扇形区域的解析性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在较弱的 Lévy 测度条件下，亚次过程指数泛函的尾部与密度在无穷远处的渐近行为如何？
• RQ2 鞍点法在多大程度上可被适配于涉及 Bernstein-gamma 函数的 Mellin 变换？
• RQ3 非减复合泊松过程的指数泛函的密度及其导数的精确渐近形式是什么？
• RQ4 此类泛函的密度在复平面的哪些区域是解析的？
• RQ5 这些密度的渐近行为能否被表征为等价于指数分布的渐近行为？

主要发现

• 非减复合泊松过程的指数泛函的密度及其导数表现出与指数分布随机变量完全相同的渐近行为。
• 对通过 Bernstein-gamma 函数表达的 Mellin 变换的渐近展开，已扩展至复平面上的精确 Stirling 型逼近。
• 鞍点法可为尾部和密度提供精确的渐近展开，即使对高阶导数也适用。
• 一大类由指数泛函产生的密度在复平面上的某一个扇形（锥形）区域内解析，表明其具有强正则性。
• Lévy 测度的正增长条件足以确保所推导渐近性质在整个所考虑亚次过程类中均成立。
• 结果超越了经典 Tauber 理论，为一大类自相似可分解分布提供了非经典渐近结果。