[论文解读] The peeling process on random planar maps coupled to an O(n) loop model (with an appendix by Linxiao Chen)

Timothy Budd|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2018

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 33被引用 15

一句话总结

该论文将剥层过程推广至与O(n)环模型耦合的随机平面图，建立了与一类新型正自相似马尔可夫过程——回弹稳定过程的联系。论文严格证明了该模型的相图，并确定了首达通过渗滤距离的标度极限，将其与Lévy过程的指数积分联系起来，同时通过组合方法证明了柯西绕数收敛性。

ABSTRACT

We extend the peeling exploration introduced in arxiv:1506.01590 to the setting of Boltzmann planar maps coupled to a rigid $O(n)$ loop model. Its law is related to a class of discrete Markov processes obtained by confining random walks to the positive integers with a new type of boundary condition. As an application we give a rigorous justification of the phase diagram of the model presented in arXiv:1106.0153. This entails two results pertaining to the so-called fixed-point equation: the first asserts that any solution determines a well-defined model, while the second result, contributed by Chen in the appendix, establishes precise existence criteria. A scaling limit for the exploration process is identified in terms of a new class of positive self-similar Markov processes, going under the name of ricocheted stable processes. As an application we study distances on loop-decorated maps arising from a particular first passage percolation process on the maps. In the scaling limit these distances between the boundary and a marked point are related to exponential integrals of certain Lévy processes. The distributions of the latter can be identified in a fairly explicit form using machinery of positive self-similar Markov processes. Finally we observe a relation between the number of loops that surround a marked vertex in a Boltzmann loop-decorated map and the winding angle of a simple random walk on the square lattice. As a corollary we give a combinatorial proof of the fact that the total winding angle around the origin of a simple random walk started at $(p,p)$ and killed upon hitting $(0,0)$ normalized by $\log p$ converges in distribution to a Cauchy random variable.

研究动机与目标

• 严格证明先前工作中所推测的O(n)环模型在玻尔兹曼平面图上的相图。
• 将剥层探索过程推广至带有O(n)环装饰的图，将其与具有新颖边界条件的受限随机游走联系起来。
• 将探索过程的标度极限识别为一类新型正自相似马尔可夫过程——回弹稳定过程。
• 研究环装饰图上的首达通过渗滤距离，并将其标度极限与Lévy过程的指数积分联系起来。
• 建立环绕数与二维简单随机游走绕数角之间的组合联系，从而证明柯西收敛性。

提出的方法

• 通过引入一种gasket分解，将剥层过程适配于带有O(n)环装饰的玻尔兹曼平面图，以分离出环装饰的子图组件。
• 将探索过程建模为定义在正整数上的离散马尔可夫过程，其边界条件由O(n)环模型参数导出。
• 利用生成函数的谱分析刻画态密度，从而定义函数 $\rho^{(\gamma)}_{\mathbf{q},g,n}(x)$，该函数对物理解必须非负。
• 引入辅助函数 $\check{\rho}_{\mathbf{q},g,n}(x) = \rho^{(\gamma)}_{\mathbf{q},g,n}(x)/(1-x^2)^{1-b}$，以证明参数空间中解集的连续性及开闭性。
• 应用正自相似马尔可夫过程的相关结果，将剥层过程的标度极限识别为回弹稳定过程。
• 通过正自相似马尔可夫过程的理论工具，将首达通过渗滤距离与Lévy过程的指数积分联系起来，推导出显式的分布恒等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在与O(n)环模型耦合的随机平面图上，剥层过程的正确标度极限是什么？
• RQ2 如何利用分析与概率方法严格证明玻尔兹曼图上O(n)环模型的相图？
• RQ3 围绕标记顶点的环数与二维简单随机游走的绕数角之间有何关系？
• RQ4 是否能通过组合方法证明归一化绕数角收敛于柯西分布？
• RQ5 描述环装饰图上首达通过渗滤距离标度极限的Lévy过程的精确类是什么？

主要发现

• 在O(n)环装饰的玻尔兹曼平面图上，剥层过程在标度极限下收敛于一类新型正自相似马尔可夫过程，即回弹稳定过程。
• 在参数空间中，使得谱密度 $\rho^{(\gamma)}_{\mathbf{q},g,n}(x)$ 在 $[-1,1]$ 上非负的参数集合既是开集也是闭集，从而确保了良好定义模型的存在性。
• 通过在变换函数 $\check{\rho}_{\mathbf{q},g,n}(x)$ 上使用连续性与正性论证，确立了不动点方程解的存在性，其中关键引理证明：当且仅当 $\mathbf{q} = \boldsymbol{\delta}_1$ 时，有 $P_{\mathbf{q},g,n}'(1) = P_{\mathbf{q},g,n}'(-1) = 0$。
• 从 $(p,p)$ 出发、在 $(0,0)$ 处吸收的二维正方形格点上的简单随机游走，其绕原点的总绕数角，经 $\log p$ 归一化后，依分布收敛于柯西随机变量。
• 在标度极限下，环装饰图中边界点与标记顶点之间首达通过渗滤距离的分布与Lévy过程的指数积分相关联，后者通过正自相似马尔可夫过程理论得到显式刻画。
• 本文提供了绕数角柯西极限律的组合证明，将其与环装饰图中围绕顶点的环数联系起来。