[论文解读] Asymptotic of spectral covariance for linear random fields with infinite variance

Julius Damarackas, Vygantas Paulauskas|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2016

Probability and Risk Models参考文献 3被引用 3

一句话总结

本文研究了具有无限方差的二维线性随机场在稳定创新下的谱协方差的渐近行为。它推导了当 $k_1 \to \infty$，$k_2 \to -\infty$ 时，谱协方差 $ρ(X_{(0,0)},X_{(k_1,k_2)})$ 的极限分布，表明其渐近尺度为 $n^{1-\beta_1\alpha} m_n^{-\beta_2/\beta_1} \ln(n m_n^{-\beta_2/\beta_1})$，且极限依赖于谱测度和滤波器系数。

ABSTRACT

In the paper we continue to investigate measures of dependence for random variables with infinite variance. The asymptotic of spectral covariance $ρ(X_{(0,0)}, X_{(k_1,k_2)})$ for linear random field $X_{k,l}=\sum_{i,j=0}^\infty c_{i,j}ε_{k-i, l-j}, \ (k, l)\in \mathbb{Z}^2,$ with special form of filter $\{c_{i,j}\}$ and with innovations $\{ ε_{i, j}\}$ having infinite second moment is investigated. Different behavior of $ρ(X_{(0,0)}, X_{(k_1,k_2)})$ is obtained in the cases $n o \infty, \ m o \infty$ and $n o \infty, \ m o -\infty$, the latter case being much more complicated.

研究动机与目标

• 将谱协方差理论扩展到具有无限二阶矩的线性随机场，特别是在二维情形下。
• 在二阶矩不存在时，使用谱协方差作为依赖度量，分析此类场中的依赖结构。
• 研究当一个索引趋于无穷而另一个趋于负无穷时，谱协方差的渐近行为，该情形比标准双变量情形更为复杂。
• 在特定滤波器和创新结构下，建立谱协方差的尺度极限，特别是针对稳定创新。
• 通过谱测度和特征函数，对由 α-稳定噪声驱动的线性随机场中的依赖关系提供严格的渐近表征。

提出的方法

• 使用对称 α-稳定（SαS）随机向量作为基础，通过单位圆上的谱测度 Γ 定义谱协方差。
• 应用谱协方差 $\rho(X_1,X_2) = \int_{\mathbb{S}^1} s_1 s_2 \Gamma(ds)$ 和双变量 SαS 向量的谱相关系数的定义。
• 通过吸引域条件，将谱协方差的概念扩展到非高斯、无限方差的随机向量，利用极限分布的谱测度 Γ。
• 分析具有重尾创新 $\varepsilon_{i,j}$（具有无限方差）的线性随机场 $X_{k,l} = \sum_{i,j=0}^\infty c_{i,j} \varepsilon_{k-i,l-j}$。
• 对滤波器系数 $c_{i,j}$ 和谱测度的积分进行渐近分析，特别关注当 $n \to \infty$，$m_n \to \infty$ 时，$k_1 = n$，$k_2 = -m_n$ 的行为。
• 对涉及 $I_{1,j}$ 和 $I_{2,j}$ 的积分施加界限，并应用对数尺度，推导 $\rho(n, -m_n)$ 的极限行为，利用慢变函数和谱测度的性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有无限方差的二维线性随机场中，当 $k_1 \to \infty$ 且 $k_2 \to -\infty$ 时，谱协方差 $\rho(X_{(0,0)}, X_{(k_1,k_2)})$ 的渐近行为如何？
• RQ2 此类场中谱协方差的尺度速率是多少？它如何依赖于滤波器系数和谱测度？
• RQ3 在 $k_1, k_2 \to \infty$ 和 $k_1 \to \infty, k_2 \to -\infty$ 两种情形下，渐近行为有何不同？
• RQ4 是否可以使用吸引域条件下的谱测度，对非高斯、无限方差的线性场一致地定义和分析谱协方差？
• RQ5 慢变函数 $L(x)$ 和谱测度 $\Gamma$ 在决定协方差渐近尺度中起什么作用？

主要发现

• 对于具有无限方差创新的线性场，谱协方差 $\rho(n, -m_n)$ 的渐近尺度为 $n^{1-\beta_1\alpha} m_n^{-\beta_2/\beta_1} \ln(n m_n^{-\beta_2/\beta_1})$，当 $n \to \infty$，$m_n \to \infty$ 时。
• 归一化谱协方差 $\rho(n, -m_n) / \left(n^{1-\beta_1\alpha} m_n^{-\beta_2/\beta_1} \ln(n m_n^{-\beta_2/\beta_1})\right)$ 的极限收敛于 $\sum_{j=0}^{\infty} w_{(\infty,j)} (1+j)^{-\beta_2}$，该值由滤波器系数和谱测度决定。
• 在 $k_1 \to \infty$，$k_2 \to -\infty$ 的情形下，渐近行为显著比第一象限复杂，需要对振荡项和对数项进行细致分析。
• 即使二阶矩不存在，谱协方差仍可通过吸引域条件导出的谱测度 $\Gamma$ 在非高斯、无限方差场中明确定义。
• 分析证实，谱协方差能够捕捉重尾线性场中的长程依赖，其极限依赖于滤波器系数的衰减速率 $\beta_1$，$\beta_2$。
• 通过 $I_{1,j}$ 和 $I_{2,j}$ 的积分界限建立了收敛速率，主要贡献来自 $I_{1,j}$ 项及其对数尺度。