[论文解读] Asymptotically Exact Inference in Conditional Moment Inequality Models

Timothy B. Armstrong|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2011

Advanced Causal Inference Techniques被引用 5

一句话总结

本文通过推导当参数位于识别集边界时，条件矩不等式模型中Kolmogorov-Smirnov型检验统计量的精确收敛速率与渐近分布，实现了对条件矩不等式模型的渐近精确推断。结果表明，收敛速率快于根n——具体为 $ n^{-2/(d_X+4)} $——并推导出仅依赖于非紧约束矩的渐近分布，从而实现了比保守的根n近似更强大的推断。

ABSTRACT

This paper derives the rate of convergence and asymptotic distribution for a class of Kolmogorov-Smirnov style test statistics for conditional moment inequality models for parameters on the boundary of the identified set under general conditions. In contrast to other moment inequality settings, the rate of convergence is faster than root-$n$, and the asymptotic distribution depends entirely on nonbinding moments. The results require the development of new techniques that draw a connection between moment selection, irregular identification, bandwidth selection and nonstandard M-estimation. Using these results, I propose tests that are more powerful than existing approaches for choosing critical values for this test statistic. I quantify the power improvement by showing that the new tests can detect alternatives that converge to points on the identified set at a faster rate than those detected by existing approaches. A monte carlo study confirms that the tests and the asymptotic approximations they use perform well in finite samples. In an application to a regression of prescription drug expenditures on income with interval data from the Health and Retirement Study, confidence regions based on the new tests are substantially tighter than those based on existing methods.

研究动机与目标

• 推导当参数位于识别集边界时，条件矩不等式模型中Kolmogorov-Smirnov型检验统计量的精确收敛速率与渐近分布。
• 解决现有方法在该条件下缺乏精确渐近近似的问题，这些方法仅能提供检验统计量的保守根n界。
• 通过使用正确的渐近分布与缩放方式，开发出比现有保守方法更强大的新推断程序。
• 通过比较新方法与现有方法在局部替代假设趋近识别集时的检测率，量化其功效提升。
• 通过蒙特卡洛研究验证所提检验的有限样本表现，并将其应用于基于健康与退休研究数据的实际区间回归模型。

提出的方法

• 通过分析在由(s,t)参数化的区间上对加权无条件矩的下确界，利用原假设与所有此类区间上矩不等式的等价性，推导检验统计量的渐近分布。
• 在参数上使用一阶泰勒展开，在条件变量上使用二阶泰勒展开，以近似边界点附近的积分矩函数。
• 应用变量变换 $ u = (x - x_k)n^{1/(2(d+2))} $ 重新参数化积分，并证明真实积分与近似积分之间的差异在相关区域上一致收敛于零。
• 证明检验统计量的下确界渐近等价于以 $ \sqrt{n} $ 缩放的 $ x - x_k $ 的二次型加上参数偏离 $ a_n $ 的线性项。
• 通过证明在所推导的缩放下，绑定矩的贡献在极限下消失，表明渐近分布仅依赖于非绑定矩。
• 利用所推导的渐近分布构造临界值，其功效优于基于保守 $ \sqrt{n} $ 近似的临界值。

实验结果

研究问题

• RQ1 在条件矩不等式模型中，当参数位于识别集边界时，Kolmogorov-Smirnov检验统计量的精确收敛速率是什么？
• RQ2 该检验统计量的渐近分布与标准根n结果有何不同？其极限形式由什么决定？
• RQ3 所提出的方法能否以比现有保守方法更快的速率检测趋近识别集的局部替代假设？
• RQ4 与现有方法相比，新检验在有限样本下的表现如何，特别是在大小与功效方面？
• RQ5 在实证应用中，基于新推断程序的置信区域与基于保守近似的置信区域相比，其大小如何？

主要发现

• 在识别集边界处，检验统计量的收敛速率为 $ n^{-2/(d_X+4)} $，快于标准的 $ \sqrt{n} $ 速率。
• 由于边界附近局部近似结构的特性，检验统计量的渐近分布仅依赖于非绑定矩，而不依赖于绑定矩。
• 新检验能够以 $ n^{-2/(d_X+4)} $ 的速率检测趋近识别集的局部替代假设，而现有保守方法仅能检测以 $ n^{-1/(d_X+2)} $ 速率趋近的替代假设。
• 功效提升显著：新方法能检测到比根n近似方法更接近识别集的渐近替代假设。
• 蒙特卡洛模拟结果表明，渐近近似在有限样本中表现良好，具有正确的大小与提升的功效。
• 在对处方药支出与收入之间区间回归的实证应用中，基于新检验的置信区域明显比现有方法的置信区域更紧凑。