[论文解读] Asymptotically Unitary Equivalence and Classification of Simple Amenable C*-algebras

Huaxin Lin|ArXiv.org|Jun 3, 2008

Advanced Operator Algebra Research参考文献 31被引用 9

一句话总结

本文通过证明：对于具有迹秩至多为一的单位元可分简单渐近阿贝尔C*-代数，任意两个单位元单同态是渐近酉等价的，当且仅当它们在KK-理论、迹映射和一个与旋转相关的映射上一致，从而建立了对这类C*-代数的完整分类。该结果将Elliott分类程序扩展至更广泛的C*-代数类，包括与无维数增长的Z-稳定AH代数同构的代数。

ABSTRACT

Let $C$ and $A$ be two unital separable amenable simple C*-algebras with tracial rank no more than one. Suppose that $C$ satisfies the Universal Coefficient Theorem and suppose that $ϕ_1, ϕ_2: C o A$ are two unital monomorphisms. We show that there is a continuous path of unitaries $\{u_t: t\in [0, \infty)\}$ of $A$ such that $$ \lim_{t o\infty}u_t^*ϕ_1(c)u_t=ϕ_2(c) foral c\in C $$ if and only if $[ϕ_1]=[ϕ_2]$ in $KK(C,A),$ $ϕ_1^‡=ϕ_2^‡,$ $(ϕ_1)_T=(ϕ_2)_T$ and a rotation related map $\bar{R}_{ϕ_1,ϕ_2}$ associated with $ϕ_1$ and $ϕ_2$ is zero. Applying this result together with a result of W. Winter, we give a classification theorem for a class ${\cal A}$ of unital separable simple amenable \CA s which is strictly larger than the class of separable \CA s whose tracial rank are zero or one. The class contains all unital simple ASH-algebras whose state spaces of $K_0$ are the same as the tracial state spaces as well as the simple inductive limits of dimension drop circle algebras. Moreover it contains some unital simple ASH-algebras whose $K_0$-groups are not Riesz. One consequence of the main result is that all unital simple AH-algebras which are ${\cal Z}$-stable are isomorphic to ones with no dimension growth.

研究动机与目标

• 建立具有迹秩≤1的简单渐近阿贝尔C*-代数之间单位元单同态渐近酉等价性的唯一性定理。
• 将Elliott分类程序扩展至迹秩为0或1以外的更广大的C*-代数类。
• 证明Z-稳定的单位元简单AH代数同构于无维数增长的代数，使用渐近酉等价。
• 刻画一个在与UHF代数张量积、归纳极限和张量积下封闭的C*-代数类A，该类包含许多ASH代数和Z-稳定代数。
• 为通过KK-理论、迹和一个新的旋转映射对C*-代数进行分类提供框架，实现对迹秩为零以外的代数的分类。

提出的方法

• 使用最近在[38]中建立的迹秩为一的C*-代数的基本同伦引理，以控制同态的扰动。
• 应用统一系数定理（UCT）以确保KK-理论类可提升为实际的同态。
• 在A中构造一条单位元的连续路径，使其渐近地互换两个单位元单同态φ₁和φ₂。
• 通过四个不变量验证渐近酉等价性：[φ₁] = [φ₂] ∈ KK(C,A)，φ₁‡ = φ₂‡，(φ₁)T = (φ₂)T，以及R̄φ₁,φ₂ = 0。
• 利用W. Winter的方法，通过与UHF代数Mₚ张量积，将分类问题约化为迹秩为零的代数。
• 利用归纳极限和张量积的封闭性质，定义并刻画C*-代数类A。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于迹秩≤1的简单渐近阿贝尔C*-代数，何时两个单位元单同态φ₁, φ₂: C → A是渐近酉等价的？
• RQ2 哪些K-理论和迹不变量是分类此类同态至渐近酉等价的必要且充分条件？
• RQ3 Z-稳定的单位元简单AH代数能否被分类为同构于无维数增长的代数？
• RQ4 在Elliott程序中，除KK-理论和迹之外，分类迹秩为零以外的C*-代数所需的最小不变量集是什么？
• RQ5 哪些C*-代数属于在张量积、归纳极限和与UHF代数张量积下封闭的类A？其结构特征是什么？

主要发现

• 两个单位元单同态φ₁, φ₂: C → A是渐近酉等价的，当且仅当[φ₁] = [φ₂] ∈ KK(C,A)，φ₁‡ = φ₂‡，(φ₁)T = (φ₂)T，且旋转映射R̄φ₁,φ₂ = 0。
• 类A的单位元可分简单渐近阿贝尔C*-代数包括所有单位元简单AH代数、所有迹秩≤1的Z-稳定代数，且在张量积、归纳极限和与UHF代数张量积下封闭。
• 所有Z-稳定的单位元简单AH代数都同构于无维数增长的代数，这是主分类结果的关键推论。
• 类A中代数的张量积仍属于A，且A在归纳极限下封闭，证实了其在分类中的稳健性。
• 类A包含具有任意可度量化的Choquet简单迹态空间和K₀-群为ℤ的单位元简单ASH代数，也包括K₀-群非Riesz的代数。
• 对于A, B ∈ A，有A ⊗ ℤ ≅ B ⊗ ℤ当且仅当Ell(A ⊗ ℤ) ≅ Ell(B ⊗ ℤ)，为A中Z-稳定代数提供了完整不变量。