[论文解读] Asymptotics and approximations of ruin probabilities for multivariate risk processes in a Markovian environment

Guusje Delsing, Michel Mandjes+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2018

Probability and Risk Models参考文献 14被引用 7

一句话总结

本文针对由共同环境过程驱动的马氏调制风险模型中多个业务线的多变量有限时间 ruin 概率，提出了渐近近似方法。通过分析两种情形——环境状态转换速率较低（单次切换近似）与转换速率较高且索赔强度较大的情形（扩散近似），作者推导出闭式近似解，并通过大量数值实验验证，结果表明近似方法的选择在很大程度上取决于转换速率与索赔强度的水平。

ABSTRACT

This paper develops asymptotics and approximations for ruin probabilities in a multivariate risk setting. We consider a model in which the individual reserve processes are driven by a common Markovian environmental process. We subsequently consider a regime in which the claim arrival intensity and transition rates of the environmental process are jointly sped up, and one in which there is (with overwhelming probability) maximally one transition of the environmental process in the time interval considered. The approximations are extensively tested in a series of numerical experiments.

研究动机与目标

• 解决在具有依赖业务线的多变量风险模型中计算联合 ruin 概率的挑战。
• 通过一个共同的马氏环境过程来建模业务线之间的依赖关系，该过程影响索赔到达与强度。
• 在不同环境动态条件下，为有限时间 ruin 概率开发准确且闭式的近似方法。
• 基于模型参数，为何时使用单次切换近似或扩散近似提供实用指导。
• 通过全面的数值实验验证近似方法的准确性，评估其在不同参数区域的表现。

提出的方法

• 将多变量风险过程建模为由连续时间马氏链（代表环境状态）调制的 Cramér-Lundberg 过程集合。
• 在索赔到达强度与环境转换速率按比例加速的标度极限下，推导扩散近似。
• 针对环境过程在整个时间范围内至多发生一次转换的情形，提出单次切换近似，利用特定状态下的单变量 ruin 概率。
• 运用弱收敛论证，将扩散近似解释为标度后多变量风险过程的极限。
• 通过条件化初始时刻的环境状态以及（罕见的）单次转换事件，应用单次切换近似。
• 通过蒙特卡洛模拟验证近似方法，并与数值计算得到的真实 ruin 概率进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在业务线通过共同的马氏环境过程相关联的多变量风险模型中，对 ruin 概率进行近似？
• RQ2 当环境过程演化缓慢（转换速率较低）时，多变量风险过程的渐近性质是什么？
• RQ3 当环境过程演化迅速且索赔频繁（高强度）时，多变量风险过程的渐近性质是什么？
• RQ4 在何种参数区域下，单次切换近似与扩散近似表现良好或表现不佳？
• RQ5 在低索赔强度、高环境转换速率的场景下，假设业务线之间独立与所提出的近似方法相比有何差异？

主要发现

• 当环境转换速率较低时，单次切换近似表现良好，因为发生多次转换的概率可忽略不计。
• 当环境转换速率与索赔到达强度均较高时，扩散近似能提供准确估计，原因在于其弱收敛至带 drift 的多变量几何布朗运动。
• 在环境转换速率高但索赔到达强度低的情形下，单次切换近似与扩散近似均表现不佳。
• 在低索赔强度、高转换速率的场景下，多变量 ruin 概率的最佳近似方式是假设各分量之间相互独立，因为两种专用近似方法均失效。
• 数值结果表明，降低环境转换速率可提高单次切换近似的准确性，这与预期一致。
• 当索赔到达强度较低时，即使环境转换速率较高，扩散近似的性能也会显著下降。