[论文解读] Asymptotics for the Tur\'an number of Berge-$K_{2,t}$

Dániel Gerbner, Abhishek Methuku+1 more|arXiv (Cornell University)|May 11, 2017

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 19被引用 13

一句话总结

本文确定了3-均匀超图中Berge-$K_{2,t}$的渐近Turán数，证明当$t \geq 7$时，$ex_3(n, K_{2,t}) = (1+o(1))\frac{1}{6}(t-1)^{3/2}n^{3/2}$。此外，本文还建立了避免$C_2$和$K_{2,t}$的线性3-均匀超图的渐近Turán数，证明$ex_3(n, \{C_2, K_{2,t}\}) = (1+o_t(1))\frac{1}{6}\sqrt{t-1}\cdot n^{3/2}$，采用概率与极值组合数学技术，包括超图匹配和Turán型界。

ABSTRACT

Let $F$ be a graph. A hypergraph is called Berge-$F$ if it can be obtained by replacing each edge of $F$ by a hyperedge containing it. Let $\\mathcal{F}$ be a family of graphs. The Tur\\'an number of Berge-$\\mathcal{F}$ is the maximum possible number of edges in an $r$-uniform hypergraph on $n$ vertices containing no Berge-$F$ as a subhypergraph (for every $F \\in \\mathcal{F}$) and is denoted by $ex_r(n,\\mathcal{F})$. We determine the asymptotics for the Tur\\'an number of Berge-$K_{2,t}$ by showing $$ex_3(n,K_{2,t})=\\frac{1}{6}(t-1)^{3/2} \\cdot n^{3/2}(1+o(1))$$ for any given $t \\ge 7$. We study the analogous question for linear hypergraphs and show that $$ex_3(n,\\{C_2, K_{2,t}\\}) = \\frac{1}{6}\\sqrt{t-1} \\cdot n^{3/2}(1+o_{t}(1)).$$ We also prove general upper and lower bounds on the Tur\\'an numbers of a class of graphs including $ex_r(n, K_{2,t})$, $ex_r(n,\\{C_2, K_{2,t}\\})$, and $ex_r(n, C_{2k})$ for $r \\ge 3$. Our bounds improve results of Gerbner and Palmer, F\\"uredi and \\"Ozkahya, Timmons, and provide a new proof of a result of Jiang and Ma.

研究动机与目标

• 确定3-均匀超图中Berge-$K_{2,t}$的Turán数的渐近行为。
• 为避免$C_2$和$K_{2,t}$的线性3-均匀超图的Turán数建立精确的渐近界。
• 将$r$-均匀Berge超图的界推广，包括$ex_r(n, K_{2,t})$、$ex_r(n, \{C_2, K_{2,t}\})$和$ex_r(n, C_{2k})$，其中$r \geq 3$。
• 改进Gerbner和Palmer、Füredi和Özkahya、Timmons以及Jiang和Ma的先前结果。

提出的方法

• 构建一个3-均匀超图${\mathcal{H}}$，其顶点为图$G$的边，超边对应于$G$中的三角形，以建模Berge-$K_{2,t}$结构。
• 使用三角形计数方法，将${\mathcal{H}}$中的超边数与$G$中的三角形数关联，确保线性和有界度。
• 应用Alon、Kim和Spencer关于超图匹配的定理，在修改后的超图${\mathcal{H}}'$中找到一个大匹配$M'$，覆盖几乎所有顶点。
• 通过从边不相交三角形的匹配构造一个避免Berge-$K_{2,t}$的线性超图，建立$ex_3(n, \{C_2, K_{2,t}\})$的下界。
• 利用极值图论和Turán型界控制从$G$导出的辅助图中的团数和独立数，确保超图不包含禁止的Berge子超图。
• 使用概率与组合技术，包括度数和密度约束，证明$r$-均匀Berge超图的一般上下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 当$t \geq 7$时，$ex_3(n, K_{2,t})$的渐近增长速率是什么？
• RQ2 避免$C_2$和$K_{2,t}$的线性3-均匀超图的Turán数如何渐近表现？
• RQ3 能否将$ex_r(n, K_{2,t})$、$ex_r(n, \{C_2, K_{2,t}\})$和$ex_r(n, C_{2k})$的界推广到$r \geq 3$的$r$-均匀超图？
• RQ4 新界与Gerbner和Palmer、Füredi和Özkahya、Timmons以及Jiang和Ma的先前结果相比如何？

主要发现

• 当$t \geq 7$时，3-均匀超图中Berge-$K_{2,t}$的Turán数满足$ex_3(n, K_{2,t}) = (1+o(1))\frac{1}{6}(t-1)^{3/2}n^{3/2}$。
• 对于线性3-均匀超图，避免$C_2$和$K_{2,t}$的Turán数为$ex_3(n, \{C_2, K_{2,t}\}) = (1+o_t(1))\frac{1}{6}\sqrt{t-1}\cdot n^{3/2}$。
• 下界构造利用图$G$中边不相交三角形的匹配，其边数为$O(n^{3/2})$，确保任意两个三角形不共享边。
• 证明利用了超图匹配定理，保证在修改后的超图中，存在一个匹配覆盖除$O(n^{3/2} \cdot \ln^{3/2}(t-1)/\sqrt{t-1})$个顶点外的所有顶点。
• 结果改进了Gerbner和Palmer、Füredi和Özkahya、Timmons以及Jiang和Ma的先前界，并为Jiang和Ma的一个结果提供了新证明。
• 渐近界在低阶项范围内是紧致的，对所有$t \geq 7$成立，且有猜想认为对$t = 3,4,5,6$可能也成立相同渐近性态。