[论文解读] Tur\'an numbers for Berge-hypergraphs and related extremal problems

Cory Palmer, Michael Tait+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2017

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 20被引用 18

一句话总结

本文為伯杰超图的图论极值数建立了新的上下界，特别是针对伯杰-$F$，其中$F$为完全二部图$K_{s,t}$，并证明了不含伯杰-$C_3$或$C_4$的五阶3-均匀超图数量的渐近公式，与已知的$\frac{1}{6}n^{3/2}+o(n^{3/2})$结果一致。该研究将伯杰超图的极值函数、超图展开以及图中子图计数联系起来。

ABSTRACT

Let $F$ be a graph. We say that a hypergraph $H$ is a {\\it Berge}-$F$ if there is a bijection $f : E(F) \ ightarrow E(H )$ such that $e \\subseteq f(e)$ for every $e \\in E(F)$. Note that Berge-$F$ actually denotes a class of hypergraphs. The maximum number of edges in an $n$-vertex $r$-graph with no subhypergraph isomorphic to any Berge-$F$ is denoted $\\ex_r(n,\ extrm{Berge-}F)$. In this paper we establish new upper and lower bounds on $\\ex_r(n,\ extrm{Berge-}F)$ for general graphs $F$, and investigate connections between $\\ex_r(n,\ extrm{Berge-}F)$ and other recently studied extremal functions for graphs and hypergraphs. One case of specific interest will be when $F = K_{s,t}$. Additionally, we prove a counting result for $r$-graphs of girth five that complements the asymptotic formula $\ extup{ex}_3 (n , \ extrm{Berge-}\\{ C_2 , C_3 , C_4 \\} ) = \\frac{1}{6} n^{3/2} + o( n^{3/2} )$ of Lazebnik and Verstra\\"{e}te [{\\em Electron.\\ J. of Combin}. {\\bf 10}, (2003)].

研究动机与目标

• 为一般图$F$和均匀度$r\geq 3$建立图论极值数$\mathrm{ex}_r(n,\text{Berge-}F)$的紧致上下界。
• 研究$\mathrm{ex}_r(n,\text{Berge-}F)$、$\mathrm{ex}_r(n,F^+)$与$\mathrm{ex}(n,K_r,F)$之间的关系，特别基于$F$的色数区分非退化与退化情形。
• 证明不含伯杰-$C_3$或$C_4$的五阶$r$-均匀超图数量的渐近公式，补充拉泽尼克与维尔斯特拉特的先前结果。

提出的方法

• 基于顶点排序与度序列的计数论证，以限制不含伯杰-$\mathcal{B}_4$的超图数量。
• 通过辅助图中独立集的引理，应用克莱特曼-温斯顿容器方法，以控制有效顶点连接方式的数量。
• 在$i$个顶点上定义辅助图$H_i$，其中边表示超图中长度为2的路径，以约束新顶点的邻域。
• 利用参数$\beta = i^{-1/3}\log i$、$R = i/d_i$和$q = i^{1/3}$的容器引理，限制$H_i$中大小为$d_i$的独立集数量。
• 通过度序列上的乘积界，推导出$f_r(n,\mathcal{B}_4,m)$（即具有$m$条边且五阶的$r$-图）的上界。
• 运用凸性与对数估计，将最终指数界简化为关于$m$与$n$的表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于不同图$F$，图论极值数$\mathrm{ex}_r(n,\text{Berge-}F)$、$\mathrm{ex}_r(n,F^+)$与$\mathrm{ex}(n,K_r,F)$的渐近行为如何比较？
• RQ2 3-均匀超图的图论极值数$\mathrm{ex}_3(n,\text{Berge-}\{C_2,C_3,C_4\})$的渐近行为是什么？
• RQ3 对于哪些图$F$，三个极值函数$\mathrm{ex}(n,K_r,F)$、$\mathrm{ex}_r(n,\text{Berge-}F)$与$\mathrm{ex}_r(n,F^+)$表现出渐近等价的增长？
• RQ4 在不含伯杰-$C_3$或$C_4$的五阶$r$-均匀超图中，最大边数是多少？
• RQ5 图$F$的色数如何影响$\mathrm{ex}_r(n,\text{Berge-}F)$的渐近行为？

主要发现

• 对于$F=K_{s,t}$且$t\geq s\geq 3$，本文建立$\mathrm{ex}_3(n,\text{Berge-}K_{s,t})=O(n^{3-3/s})$，与$K_{s,t}^+$展开的已知界一致。
• 渐近公式$\mathrm{ex}_3(n,\text{Berge-}\{C_2,C_3,C_4\})=\frac{1}{6}n^{3/2}+o(n^{3/2})$通过此类超图数量的计数结果得到补充。
• 对于满足$\chi(F)>r$的图$F$，三个极值函数$\mathrm{ex}(n,K_r,F)$、$\mathrm{ex}_r(n,\text{Berge-}F)$与$\mathrm{ex}_r(n,F^+)$渐近等价，均满足$\sim\binom{k-1}{r}(\frac{n}{k-1})^r$，其中$k=\chi(F)$。
• 具有$m$条边的五阶$r$-均匀超图数量的上界为$\mathrm{exp}\left(n^{4/3}\log^3 n + (\log n + O(1))\sum d_i - 2\sum d_i\log d_i\right)$，可简化为$\mathrm{exp}(n^{4/3}\log^3 n - 2m\log(m/n) + o(m\log m))$。
• 通过克雷特曼-温斯顿容器引理推导出$\mathrm{ind}(H_i,d_i)$的上界，得到$\mathrm{ind}(H_i,d_i)\leq \binom{i}{i^{1/3}}\binom{i/d_i}{d_i - i^{1/3}}$，用于控制有效超图扩展的数量。
• 最终得到$f_r(n,\mathcal{B}_4,m)$的上界为$\mathrm{exp}(n^{4/3}\log^3 n + O(m\log n) - 2m\log(m/n))$，为不含伯杰-$\mathcal{B}_4$的五阶超图数量提供了紧致估计。