[论文解读] Asymptotics of the eigenvalues of the Anderson Hamiltonian with white noise potential in two dimensions

Khalil Chouk, Willem van Zuijlen|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2019

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 30被引用 20

一句话总结

该论文研究了在二维方块 [0, L]² 上，带有空间-时间白噪声势的安德森哈密顿量在狄利克雷边界条件下的特征值的几乎必然渐近行为。通过使用拟控分布和大偏差原理，证明了第 n 个特征值 λₙ(L) 除以 log L 后，几乎必然收敛到一个由测试函数的 L² 和 H¹ 范数决定的变分公式给出的确定性常数。关键结果是特征值缩放的普遍收敛性，其极限常数由利亚什科夫不等式确定。

ABSTRACT

In this paper we consider the Anderson Hamiltonian with white noise potential on the box $[0,L]^2$ with Dirichlet boundary conditions. We show that all the eigenvalues divided by $\log L$ converge as $L ightarrow \infty$ almost surely to the same deterministic constant, which is given by a variational formula.

研究动机与目标

• 建立在二维方块上带有空间-时间白噪声的安德森哈密顿量在狄利克雷边界条件下的特征值的几乎必然渐近行为。
• 通过拟控分布将安德森哈密顿量的构造从周期边界条件推广到狄利克雷边界条件。
• 证明第 n 个特征值 λₙ(L) 除以 log L 后，几乎必然收敛到由变分公式确定的确定性常数。
• 将特征值渐近行为与抛物安德森模型及其解的总质量联系起来。

提出的方法

• 作者使用拟控分布，在 H₀¹([0, L]²) 上定义带有狄利克雷边界条件的安德森哈密顿量 H = Δ + ξ。
• 他们构建了狄利克雷和诺伊曼型的贝索夫空间 Bᵈ,αₚ,ₚ 和 Bⁿ,αₚ,ₚ，以处理奇异的白噪声势，并定义了它们之间的拟乘积与共振乘积。
• 推导出增强白噪声的大偏差原理，用于控制特征值的尾部行为。
• 通过缩放与平移不变性、不同尺寸方块上特征值的比较，以及对大偏差率函数的下确界，证明了特征值的收敛性。
• 证明依赖于贝索夫空间中拟乘积与共振乘积的博尼型估计，该估计被推广至混合狄利克雷-诺伊曼设置。
• 关键技术步骤涉及对与白噪声逼近相关的高斯过程协方差的有界性估计，使用三角恒等式与积分估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 L → ∞ 时，在二维方块上带有空间-时间白噪声的安德森哈密顿量在狄利克雷边界条件下的特征值的几乎必然渐近行为是什么？
• RQ2 当势能为白噪声（其过于不规则，无法用标准算子理论处理）时，如何在有界区域上严格定义带有狄利克雷条件的安德森哈密顿量？
• RQ3 λₙ(L)/log L 几乎必然收敛到的极限常数是什么？它如何被表征？
• RQ4 特征值渐近行为与抛物安德森方程解的总质量有何关联？

主要发现

• 当 L → ∞ 时，第 n 个特征值 λₙ(L) 除以 log L 几乎必然收敛到一个确定性常数 χ，其中 χ 由涉及测试函数的 L² 与 H¹ 范数的变分公式给出。
• 极限常数 χ 是满足对所有 f ∈ H¹(R²) 有 ‖f‖₄⁴ ≤ C‖∇f‖₂²‖f‖₂² 的最小 C > 0，这正是利亚什科夫不等式。
• 该收敛性对所有 n ∈ ℕ 成立，且在特征值的紧集上是一致的。
• 特征值渐近行为通过增强白噪声的大偏差原理推导得出，该原理控制了特征值的尾部行为。
• 证明依赖于狄利克雷与诺伊曼型贝索夫空间的构造，以及将博尼估计扩展至混合狄利克雷-诺伊曼乘积。
• 关键技术估计对与白噪声逼近相关的高斯过程的协方差进行了有界性控制，表明 E[|Xεₖ,ᵣYεₗ,ᵣ|] ≲ (1 + |k − r/ε|)¹⁻ᵟ + (1 + |l − r/ε|)¹⁻ᵟ，其中 δ > 0。