[论文解读] Asymptotics of the occupancy scheme in a random environment and its applications to tries

Silvia Businger|Zurich Open Repository and Archive (University of Zurich)|Sep 11, 2016

Stochastic processes and statistical mechanics被引用 4

一句话总结

本文研究了在随机环境中占据方案的渐近行为，通过嵌套盒子系统对 $ m $ 个马尔可夫链的副本进行建模。该文利用分支过程框架下的鞅方法与大偏差技术，推导出所有 $ m $ 条轨迹互不相同的时刻 $ H_{m,j} $ 以及所有可能轨迹至少被观测到 $ j $ 次的时刻 $ G_{m,j} $ 的几乎必然极限定律，将经典尝试树（tries）结果推广至随机转移概率的情形。

ABSTRACT

Consider $ m $ copies of an irreducible, aperiodic Markov chain $ Y $ taking values in a finite state space. The asymptotics as $ m $ tends to infinity, of the first time from which on the trajectories of the $ m $ copies differ, have been studied by Szpankowski (1991) in the setting of tries. We use a different approach and model the $ m $ trajectories by a variant of the occupancy scheme, where we consider a nested sequence of boxes. This approach will enable us to extend the result to the case when the transition probabilities are random. We moreover use the same techniques to study the asymptotics as $ m $ tends to infinity of the time up to which we have observed all the possible trajectories of $ Y $ in random and nonrandom scenery.

研究动机与目标

• 将关于 $ K $-叉尝试树高度的经典结果推广至转移概率为随机的情形，将系统建模为随机环境中的占据方案。
• 分析在随机环境中，$ m $ 条不可约、非周期性马尔可夫链轨迹全部互不相同的首次时刻 $ H_{m,j} $。
• 研究饱和时间 $ G_{m,j} $，即所有可能轨迹至少被观测到 $ j $ 次的最小时间。
• 在随机环境的一般条件下，建立 $ H_{m,j} $ 与 $ G_{m,j} $ 关于 $ m \to \infty $ 的几乎必然渐近极限。
• 通过嵌套盒子模型与盒子大小的极值分析，将 Szpankowski 关于 $ j $-tries 的结果推广至随机转移矩阵的情形。

提出的方法

• 使用以 $ K $-叉树为索引的嵌套盒子序列，对 $ m $ 个独立同分布的马尔可夫链 $ Y $ 的副本进行建模，每个盒子对应状态空间中的一条路径。
• 将第 $ n $ 代盒子的大小表示为路径上转移概率的乘积，形成随机环境中的乘法级联。
• 利用鞅论证与 Borel-Cantelli 型引理，控制每代中最大与最小盒子的大小。
• 应用极值理论与独立同分布指数随机变量的指数尾部界，估算填满或饱和盒子所需的球数（即轨迹数）。
• 引入辅助随机变量 $ \textbf{T}_n $，表示在第 $ n $ 代达到给定盒子的轨迹数量，并通过与指数变量耦合来控制其增长。
• 通过分析盒子大小与投掷球数之间的相互作用，结合大偏差估计，建立 $ \frac{1}{\ln m} H_{m,j} $ 与 $ \frac{1}{\ln m} G_{m,j} $ 的几乎必然收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当转移概率为随机时，所有 $ m $ 条马尔可夫链轨迹互不相同的首次时刻 $ H_{m,j} $ 的几乎必然渐近行为是什么？
• RQ2 在随机环境中，所有可能轨迹至少被观测到 $ j $ 次的饱和时间 $ G_{m,j} $ 的渐近行为如何？
• RQ3 能否通过嵌套盒子模型将经典尝试树中关于确定性转移概率的结论推广至随机转移矩阵的情形？
• RQ4 矩阵 $ (p_{ik}^j) $ 的最大模特征值 $ \rho(j) $ 在随机转移概率下 $ H_{m,j} $ 的渐近尺度中起什么作用？
• RQ5 每代中最小与最大盒子的大小如何影响随机环境中阈值时间 $ H_{m,j} $ 与 $ G_{m,j} $ ？

主要发现

• 本文证明了几乎必然有 $ \liminf_{m \to \infty} \frac{1}{\ln m} H_{m,j} \geq \zeta^* $，其中 $ \zeta^* $ 是由随机环境谱性质导出的常数。
• 在条件 (8)、(9) 与 (10) 下，本文证明了几乎必然有 $ \lim_{m \to \infty} \frac{1}{\ln m} G_{m,j} = \zeta_* $，其中 $ \zeta_* $ 与最小盒子大小的增长率相关。
• 在每代中，$ H_{m,j} $ 的渐近行为由最大盒子大小决定，其阈值时间关于 $ m $ 对数尺度增长，与确定性情形类似，但常数被随机转移结构所修正。
• 饱和时间 $ G_{m,j} $ 由每代中最小盒子大小决定，其渐近增长由最小盒子大小指数衰减率的倒数决定。
• 通过证明 $ H_{m,j} $ 与 $ G_{m,j} $ 的对数尺度在随机环境中依然保持，尽管常数依赖于随机转移结构，本文将 Szpankowski 的经典 $ j $-trie 结果推广至随机环境情形。
• 分析依赖于将占据过程与指数随机变量耦合，并应用 Borel-Cantelli 引理来控制极端盒子大小中的罕见事件。