[论文解读] Auslander's defects over extriangulated categories: an application for the General Heart Construction

Yasuaki Ogawa|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2019

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 18被引用 8

一句话总结

本文将 Auslander 的公式推广至外三角范畴，建立了包含 Auslander 的缺陷、有限表示函子与左正合函子的局部化序列。该框架被应用于证明：在三角范畴中，一个余挠对的心范畴与该余挠类上的左正合函子范畴之间存在范畴等价，统一并推广了关于 t-结构与簇倾斜子范畴的先前结果。

ABSTRACT

The notion of extriangulated category was introduced by Nakaoka and Palu giving a simultaneous generalization of exact categories and triangulated categories. Our first aim is to provide an extension to extriangulated categories of Auslander's formula: for some extriangulated category $\mathcal{C}$, there exists a localization sequence $\operatorname{\mathsf{def}}\mathcal{C} o\operatorname{\mathsf{mod}}\mathcal{C} o\operatorname{\mathsf{lex}}\mathcal{C}$, where $\operatorname{\mathsf{lex}}\mathcal{C}$ denotes the full subcategory of finitely presented left exact functors and $\operatorname{\mathsf{def}}\mathcal{C}$ the full subcategory of Auslander's defects. Moreover we provide a connection between the above localization sequence and the Gabriel-Quillen embedding theorem. As an application, we show that the general heart construction of a cotorsion pair $(\mathcal{U},\mathcal{V})$ in a triangulated category, which was provided by Abe and Nakaoka, is same as the construction of a localization sequence $\operatorname{\mathsf{def}}\mathcal{U} o\operatorname{\mathsf{mod}}\mathcal{U} o\operatorname{\mathsf{lex}}\mathcal{U}$.

研究动机与目标

• 将 Auslander 的公式从交换范畴推广至外三角范畴。
• 在外三角范畴中建立包含 Auslander 缺陷、有限表示函子与左正合函子的局部化序列。
• 将该序列与精确范畴的 Gabriel-Quillen 嵌入定理联系起来。
• 将该框架应用于三角范畴中余挠对的一般心范畴构造。
• 证明余挠对的心范畴与余挠类上的左正合函子范畴之间存在范畴等价。

提出的方法

• 在外三角范畴的背景下定义 Auslander 的缺陷，即 Yoneda 嵌入与左正合函子包含的左伴随的复合的核。
• 构造局部化序列：def C → mod C → lex C，其中 mod C 为有限表示函子范畴，lex C 为左正合函子的全子范畴。
• 通过复合函子 E_C = Q∘Y: C → mod C → lex C 来刻画外三角范畴为精确范畴或交换范畴的条件。
• 通过取直列极限并分析心范畴构造的结构，将局部化序列与 Gabriel-Quillen 嵌入定理联系起来。
• 证明三角范畴 T 中余挠对 (U,V) 的心 H̲ 通过函子 Ψ: H̲ → lex U 与 lex U[−1] 上的左正合函子范畴等价。
• 建立上同调函子 H 与复合函子 Φ = Ψ⁻¹∘Q∘Y 之间的同构，即 H ≅ Φ。

实验结果

研究问题

• RQ1 Auslander 的公式能否从交换范畴推广至外三角范畴？
• RQ2 在外三角范畴 C 中，局部化序列 def C → mod C → lex C 的结构是什么？
• RQ3 该局部化序列如何与精确范畴的 Gabriel-Quillen 嵌入定理相关联？
• RQ4 三角范畴中余挠对的心范畴是否与余挠类上的左正合函子范畴等价？
• RQ5 在此等价下，上同调函子 H: T → H̲ 是否对应于复合函子 Q∘Y？

主要发现

• 对于任意具有弱核的外三角范畴 C，局部化序列 def C → mod C → lex C 均存在。
• 函子 E_C: C → lex C 是精确且全忠实的，当且仅当 C 是精确范畴。
• 函子 E_C 是精确等价，当且仅当 C 是交换范畴，此时 C ≅ lex C。
• 三角范畴 T 中余挠对 (U,V) 的心范畴 H̲ 自然等价于 lex U。
• 上同调函子 H: T → H̲ 同构于复合函子 Φ = Ψ⁻¹∘Q∘Y，其中 Ψ: H̲ → lex U 是等价函子。
• 等价函子 Ψ: H̲ → lex U 是满的、忠实的且本质满的，从而在范畴上将心范畴与 U[−1] 上的左正合函子范畴等同起来。