[论文解读] Extriangulated categories, Hovey twin cotorsion pairs and model structures

Hiroyuki Nakaoka, Yann Palu|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 4被引用 115

一句话总结

本文介绍了外三角化范畴作为同时用于精确与三角化范畴的框架，建立了 Hovey twin cotorsion pairs 与可容许模型结构之间的双射对应，并发展了一个局部化-同伦框架来研究 cotorsion pairs 的约简与变位。

ABSTRACT

We give a simultaneous generalization of exact categories and triangulated categories, which is suitable for considering cotorsion pairs, and which we call extriangulated categories. Extension-closed, full subcategories of triangulated categories are examples of extriangulated categories. We give a bijective correspondence between some pairs of cotorsion pairs which we call Hovey twin cotorsion pairs, and admissible model structures. As a consequence, these model structures relate certain localizations with certain ideal quotients, via the homotopy category which can be given a triangulated structure. This gives a natural framework to formulate reduction and mutation of cotorsion pairs, applicable to both exact categories and triangulated categories. These results can be thought of as arguments towards the view that extriangulated categories are a convenient setup for writing down proofs which apply to both exact categories and (extension-closed subcategories of) triangulated categories.

研究动机与目标

• 用外三角化框架将精确与三角化范畴的概念推广
• 在这一统一设置中研究 cotorsion pairs 并将其与模型结构联系
• 建立 Hovey twin cotorsion pairs 与可容许模型结构之间的对应关系
• 通过某些商与局部化描述同伦范畴如何被三角化
• 提供一个适用于精确与三角化设定的 cotorsion pairs 的约简与变异框架

提出的方法

• 定义并采用 E extender 框架以捕获类似 Ext^1 的数据在一个加性范畴中的表现
• 引入 E-extensions 的加性实现以形成 extriangulated categories (ET1–ET4)
• 在 extriangulated 范畴中发展 cotorsion pairs 并研究相关的伴随函子
• 建立 Hovey twin cotorsion pairs 与可容许模型结构之间的双射对应
• 通过局部化与理想商来描述同伦范畴的三角化

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在 extriangulated 设置中表述 cotorsion pairs 以推广精确与三角化的情形
• RQ2 在 extriangulated 范畴中 Hovey twin cotorsion pairs 与可容许模型结构之间的精确关系是什么
• RQ3 如何在本框架中通过模型结构使同伦范畴获得三角化结构
• RQ4 通过 extriangulated 范畴如何统一地表述精确与三角化范畴下的 cotorsion pairs 的约简与变异

主要发现

• 存在某些 cotorsion pairs 对（Hovey twin cotorsion pairs）与可容许模型结构之间的双射对应
• 同伦范畴可以被实现为理想商并赋予三角化结构
• extriangulated 框架在精确与三角化设定下统一了 cotorsion pairs 的约简与变异
• 结果提供了统一的证明策略，表明 extriangulated 范畴能容纳适用于精确与三角化情境的证明