[论文解读] Autocorrelation functions and ergodicity in diffusion with stochastic resetting

Viktor Stojkoski, Trifce Sandev+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 24, 2021

Diffusion and Search Dynamics参考文献 97被引用 30

一句话总结

本文提出了一种基于轨迹的新方法，用于计算具有随机重置的扩散过程中的自相关函数并研究其遍历性。通过将全期望定律应用于单条轨迹，该方法在解析上推导出矩和自相关函数，揭示了重置在基于均值的可观测量（如样本均值）中诱导出遍历性，而在时间平均均方位移（TAMSD）中则破坏了遍历性，且存在一个临界重置率 r*，用以区分粒子扩散增强或受限的两个不同区域。

ABSTRACT

Diffusion with stochastic resetting is a paradigm of resetting processes. Standard renewal or master equation approach are typically used to study steady state and other transport properties such as average, mean squared displacement etc. What remains less explored is the two time point correlation functions whose evaluation is often daunting since it requires the implementation of the exact time dependent probability density functions of the resetting processes which are unknown for most of the problems. We adopt a different approach that allows us to write a stochastic solution in the level of a single trajectory undergoing resetting. Moments and the autocorrelation functions between any two times along the trajectory can then be computed directly using the laws of total expectation. Estimation of autocorrelation functions turns out to be pivotal for investigating the ergodic properties of various observables for this canonical model. In particular, we investigate two observables (i) sample mean which is widely used in economics and (ii) time-averaged-mean-squared-displacement (TAMSD) which is of acute interest in physics. We find that both diffusion and drift-diffusion processes are ergodic at the mean level unlike their reset-free counterparts. In contrast, resetting renders ergodicity breaking in the TAMSD while both the stochastic processes are ergodic when resetting is absent. We quantify these behaviors with detailed analytical study and corroborate with extensive numerical simulations. The current study provides an important baseline that unifies two different approaches, used ubiquitously in economics and physics, for studying the ergodic properties in diffusion with resetting. We believe that our results can be verified in single particle experimental set-ups and thus have strong implications in the field of resetting.

研究动机与目标

• 开发一种可计算具有随机重置的扩散过程中两时间相关函数的实用方法，其中通常未知精确的时间依赖概率密度。
• 统一经济学中的样本均值与物理学中的TAMSD两种不同方法，以分析重置系统中的遍历性特征。
• 研究随机重置如何影响经典扩散与漂移-扩散过程中系统的遍历性。
• 识别控制单粒子动力学中粒子扩散增强或受限的转变的临界重置率。

提出的方法

• 直接在单条轨迹层面推导重置Langevin方程的随机解，避免依赖系综层面的更新形式化方法。
• 将全期望定律应用于单条轨迹上的位置变量，以解析方式计算矩和自相关函数。
• 该方法利用重置事件的更新特性，将时间依赖统计量表示为重置间隔上的条件期望。
• 采用大偏差分析研究系统弛豫至非平衡稳态的过程，其中 β-混合系数用于量化收敛至平稳性的程度。
• 该方法被应用于具有泊松重置的简单扩散与漂移-扩散过程，以评估样本均值与TAMSD的遍历性。
• 数值模拟用于验证分析结果，尤其针对TAMSD与遍历性破坏参数。

实验结果

研究问题

• RQ1 当完整的时间依赖概率密度未知时，如何在具有随机重置的扩散过程中计算自相关函数？
• RQ2 随机重置是否能恢复无重置时非遍历过程的样本均值的遍历性？
• RQ3 重置如何影响扩散与漂移-扩散过程中时间平均均方位移（TAMSD）的遍历性？
• RQ4 是否存在一个临界重置率 r*，用以区分重置增加或减少单粒子追踪中粒子有效扩散范围的两个区域？
• RQ5 在一般重置动力学下，样本均值与TAMSD的遍历性特征如何相互关联？

主要发现

• 随机重置使样本均值在简单扩散与漂移-扩散过程中均呈现遍历性，而其无重置版本则为非遍历性。
• 在无重置情况下，TAMSD在扩散与漂移-扩散过程中均为遍历的，但重置会在此可观测量中诱导出遍历性破坏。
• 存在一个临界重置率 r*，使得当 r < r* 时，重置增加TAMSD；而当 r > r* 时，重置抑制TAMSD，表明粒子扩散动力学发生转变。
• 系统表现出 β-混合行为，其中 β(t) ∼ e^{-(r + μ²/(2σ²))t}，证实了向非平衡稳态的收敛及长时间弛豫。
• 所提出的基于轨迹的方法可在无需完整时间依赖PDF知识的情况下，实现自相关函数的解析计算，为马尔可夫重置过程提供了一般性框架。
• 分析结果与广泛数值模拟结果一致，支持在使用光镊技术的单粒子实验中进行潜在验证。