[论文解读] Optimal mean first-passage time of a Brownian searcher with resetting in one and two dimensions: Experiments, theory and numerical tests

F. Faisant, Benjamin Besga+3 more|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2021

Diffusion and Search Dynamics参考文献 56被引用 89

一句话总结

本文对一维和二维布朗运动搜索者在重置过程中的最优平均首次 passage 时间（MFPT）进行了全面的理论、实验和数值研究，其中重置位置服从有限宽度 σ 的高斯分布。研究揭示了在阈值比 b = L/σ 处存在临界相变，当 b > bc(a) 时，MFPT 出现亚稳态最小值，表明有限的重置位置方差会引出超越标准重置范式的非平凡最优搜索动力学。

ABSTRACT

We study experimentally, numerically and theoretically the optimal mean time needed by a Brownian particle, freely diffusing either in one or two dimensions, to reach, within a tolerance radius $R_{ ext tol}$, a target at a distance $L$ from an initial position in the presence of resetting. The reset position is Gaussian distributed with width $\sigma$. We derived and tested two resetting protocols, one with a periodic and one with random (Poissonian) resetting times. We computed and measured the full first-passage probability distribution that displays spectacular spikes immediately after each resetting time for close targets. We study the optimal mean first-passage time as a function of the resetting period/rate for different target distances (values of the ratios $b=L/\sigma$) and target size ($a=R_ ext{tol}/L$). We find an interesting phase transition at a critical value of $b$, both in one and two dimensions. The details of the calculations as well as experimental setup and limitations are discussed.

研究动机与目标

• 研究有限重置位置方差 σ 对一维和二维中最优搜索效率的影响。
• 将重置范式从固定初始位置扩展至包含空间分布的重置点。
• 利用光镊实验验证二维中 MFPT 优化的理论预测。
• 分析作为无量纲比值 b = L/σ 函数的 MFPT 中相变和亚稳态最小值的出现。
• 为周期性和泊松重置协议提供完整的理论框架、数值模拟和实验验证。

提出的方法

• 理论分析使用任意维度中布朗运动的存活概率和首次通过时间分布，重置至高斯分布的初始位置。
• 通过拉普拉斯变换和修正贝塞尔函数与误差函数的数值积分计算平均首次通过时间（MFPT）。
• 数值模拟求解一维和二维的朗之万方程，采用时间离散化的噪声和周期性或泊松分布间隔的重置事件。
• 实验验证使用光镊将二氧化硅微球捕获在水中，通过相机和四象限光电二极管追踪位置。
• 通过重新激活光镊，将系统重置至高斯分布的初始位置，并测量粒子穿过目标线（一维）或进入容差半径（二维）时的首次通过时间。
• 将理论预测与不同参数 a = Rtol/L 和 b = L/σ 下的实验和数值数据进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 有限重置位置方差 σ 如何影响一维和二维中最优平均首次通过时间（MFPT）？
• RQ2 MFPT 是否作为无量纲比值 b = L/σ 的函数出现相变？如果是，其临界值是多少？
• RQ3 二维中具有高斯分布重置位置的 MFPT 理论预测是否可在实验中得到验证？
• RQ4 在 MFPT 优化和亚稳态行为方面，周期性与泊松重置协议有何比较？
• RQ5 初始位置各向异性（σx ≠ σy）对 MFPT 的影响是什么？它如何影响实验与理论的一致性？

主要发现

• 当 a = 0.5 时，存在一个临界值 bc(a) ≈ 5，低于该值时 MFPT 中不会出现亚稳态最小值；当 b > bc(a) 时，在 MFPT 与重置周期的关系曲线上出现一个亚稳态最小值 c∗1(a,b) 和一个最大值 c∗2(a,b)。
• 对于有限的 b（即 σ > 0），缩放后的 MFPT Wperiodic(a,b,c) 随 c → ∞ 单调衰减至零，而与之相反，当 b → ∞（σ = 0）时，其值发散。
• MFPT 对重置率表现出非单调依赖关系，当 b > bc(a) 时存在唯一的最优重置周期 c∗1(a,b)，表明搜索时间存在真正的最小值。
• 在二维中使用周期性重置的实验数据与理论预测高度一致，当采用 σ = σmean = √(σ²x,exp + σ²y,exp)/2 时，证实了该模型的预测能力。
• 初始位置分布的各向异性（σx ≠ σy）可导致 MFPT 偏差高达 ±20%，尤其在高重置频率（大 c）和 a → 1 时更为显著。
• 完整的首次通过概率密度 F(t) 在每次重置时间后立即显示出尖锐的峰，尤其在目标较近（a 较小）时，表明呈现爆发式搜索模式。