[论文解读] Autoduality of compactified Jacobians for curves with plane singularities

D. Arinkin|arXiv (Cornell University)|Jan 21, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 16被引用 8

一句话总结

本文通过在 ${\overline{J}} \times {\overline{J}}$ 上构造一个推广的 Cohen-Macaulay 线丛 ${\overline{P}}$，该线丛扩展了雅可比簇 $J$ 上的 Poincaré 线丛，建立了具有平面奇点的积分投影曲线的紧化雅可比簇的自对偶性。与 ${\overline{P}}$ 关联的傅里叶-穆凯伊变换被证明是导出范畴的等价，从而证明 ${\overline{J}}$ 在导出意义下是自对偶的。

ABSTRACT

Let C be an integral projective curve with planar singularities. Consider its Jacobian J and the compactified Jacobian J'. We construct a flat family P of Cohen-Macaulay sheaves on J' parametrized by J'; over J, the family P is the Poincare line bundle. We prove that the Fourier-Mukai transform given by P is an auto-equivalence of the derived category of J'.

研究动机与目标

• 建立具有平面奇点的积分投影曲线的紧化雅可比簇的导出自对偶性。
• 在 ${\overline{J}} \times {\overline{J}}$ 上构造一个推广的 Cohen-Macaulay 线丛族，该族扩展了 $J \times {\overline{J}}$ 上的 Poincaré 线丛。
• 证明与该线丛关联的傅里叶-穆凯伊变换是 ${\overline{J}}$ 上导出范畴的等价。
• 证明 ${\overline{J}}$ 同构于其自身上秩为一的挠自由线丛模空间的一个连通分支。

提出的方法

• 在 ${\overline{J}} \times {\overline{J}}$ 上构造一个凝聚线丛 ${\overline{P}}$，使其在 $J \times {\overline{J}} \cup {\overline{J}} \times J$ 上限制为 Poincaré 线丛。
• 证明 ${\overline{P}}$ 关于 ${\overline{J}} \times {\overline{J}}$ 的每个因子是平坦的，使其成为由 ${\overline{J}}$ 参数化的线丛族。
• 利用 ${\overline{P}}$ 的普遍性质，将 ${\overline{J}}$ 识别为 ${\overline{J}}$ 上秩为一的挠自由线丛模空间的一个连通分支。
• 应用傅里叶-穆凯伊变换 $\mathfrak{F}(\mathcal{G}) = Rp_{2,*}(p_1^*\mathcal{G} \otimes {\overline{P}})$，并证明其在 $D^b({\overline{J}})$ 上是等价的。
• 利用 [5] 和 [14] 的结果，特别是 $P$ 可延拓为 $J \times {\overline{J}} \cup {\overline{J}} \times J$ 上的通用线丛族，来构建 ${\overline{P}}$ 的延拓。
• 使用对偶性与 Hilbert 多项式的半连续性，证明在一点上支持的线丛的变换对应于一个钉扎线丛，从而证明逆映射是代数的。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将 $J \times {\overline{J}}$ 上的 Poincaré 线丛延拓为具有平面奇点的曲线在 ${\overline{J}} \times {\overline{J}}$ 上的通用线丛？
• RQ2 该延拓关联的傅里叶-穆凯伊变换是否是 ${\overline{J}}$ 上导出范畴的等价？
• RQ3 ${\overline{J}}$ 是否在导出范畴意义下具有自对偶性，从而推广光滑雅可比簇的经典自对偶性？
• RQ4 ${\overline{J}}$ 能否被识别为自身上秩为一的挠自由线丛模空间的一个连通分支？
• RQ5 ${\overline{J}}$ 的导出自对偶性与 $\mathrm{GL}(n)$ 的希钦纤维丛之间有何关系？

主要发现

• 构造了一个在 ${\overline{J}} \times {\overline{J}}$ 上的平坦 Cohen-Macaulay 线丛族 ${\overline{P}}$，其扩展了 $J \times {\overline{J}} \cup {\overline{J}} \times J$ 上的 Poincaré 线丛。
• ${\overline{P}}$ 在 $J \times {\overline{J}}$ 上的限制与标准 Poincaré 线丛一致，且对 $L,F \in J$，公式 $P_{(L,F)} = \det R\Gamma(L \otimes F) \otimes \det R\Gamma(O_C) \otimes \det R\Gamma(L)^{-1} \otimes \det R\Gamma(F)^{-1}$ 成立。
• 由 ${\overline{P}}$ 定义的傅里叶-穆凯伊变换 $\mathfrak{F}$ 是导出范畴 $D^b({\overline{J}}) \to D^b({\overline{J}})$ 的等价。
• 映射 $\rho: {\overline{J}} \to \mathop{\mathrm{Pic}}\nolimits({\overline{J}})^{=}$ 将 $F \in {\overline{J}}$ 映射到 ${\overline{P}}_F$，将 ${\overline{J}}$ 识别为 ${\overline{J}}$ 上秩为一的挠自由线丛模空间的一个连通分支。
• 对任意满足 $h^i(\mathfrak{F}(M)) = \delta_{i,g}$ 的 $M \in \mathop{\mathrm{Pic}}\nolimits({\overline{J}})^{=}$，变换 $\mathfrak{F}(M)$ 同构于 $\mathcal{O}_{F^\vee}[-g]$，从而证明逆映射是代数的。
• 证明了通用线丛 $\Psi_{\mathrm{univ}}[g]$ 同构于 $\mathcal{O}_\Delta \otimes \pi^* \det(\mathfrak{j})$，从而确认该线丛是 Cohen-Macaulay 的，并支持导出等价性。