[论文解读] Automatic Theorem-Proving in Combinatorics on Words

Dane Henshall, Jeffrey Shallit|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2012

semigroups and automata theory参考文献 5被引用 5

一句话总结

本文提出了一种基于有限自动机与算法验证的机械定理证明方法，用于组合词论中的定理证明。该方法成功解决了关于Thue-Morse序列中无边因子存在的一个开放问题，证明了所有长度均存在无边因子，并将该技术扩展至Rudin-Shapiro序列与纸风琴序列，实现了完整的计算验证。

ABSTRACT

We describe a technique for mechanically proving certain kinds of theorems in combinatorics on words, using automata and a package for manipulating them. We illustrate our technique by solving, purely mechanically, an open problem of Currie and Saari on the lengths of unbordered factors in the Thue-Morse sequence.

研究动机与目标

• 开发一种完全自动化的组合词论定理证明方法，基于有限自动机与算法决策过程。
• 解决Currie与Saari提出的一个开放问题，即Thue-Morse序列中是否存在每个正整数长度的无边因子。
• 将该方法扩展至其他著名的自动序列，如Rudin-Shapiro序列与纸风琴序列，以确定无边因子的存在性。
• 通过严格的测试与最小化过程，验证基于自动机的计算的正确性。
• 为未来研究在自动序列中计数不同无边因子及检测阿贝尔幂奠定基础。

提出的方法

• 该方法使用由有限自动机（带输出）生成的$k$-自动序列，其中第$n$项由$n$的基-$k$表示计算得出。
• 将关于序列的逻辑谓词转化为自动机，该自动机接受满足谓词的整数的基-$k$表示。
• 决策过程依赖于利用补集、交集与环路检测等闭包性质，构建存在性、全称性与无穷性断言的自动机。
• 通过将整数对或三元组编码为$\Sigma_k^r$上的字符串（使用补码基-$k$表示并补前导零），处理多维输入。
• 通过对比自动机输出与直接计算前10,000个索引序列值的C++函数，构建测试框架以验证构造的每一阶段。
• 为应对确定化过程中的状态爆炸问题，方法在确定化前对NFA进行反转，如在Rudin-Shapiro案例中，最终的DFA被最小化为1个状态的自动机。

实验结果

研究问题

• RQ1 Thue-Morse序列是否包含每个正整数长度的无边因子？
• RQ2 Rudin-Shapiro序列是否包含每个长度的无边因子？
• RQ3 纸风琴序列在哪些长度$n$下包含无边因子？
• RQ4 能否使用自动机理论方法，算法化地判断自动序列中无边因子的存在性？
• RQ5 该方法能否扩展至计算自动序列中长度为$n$的不同无边因子的数量？

主要发现

• Thue-Morse序列包含每个长度的无边因子，解决了Currie与Saari提出的开放问题。
• Thue-Morse序列的计算在2.9GHz笔记本电脑上耗时9秒CPU时间，最小化后的最终自动机包含1,080个状态。
• Rudin-Shapiro序列包含每个长度的无边因子，经6秒计算确认，最终的DFA为30个状态，最小化后缩减为1个状态的自动机。
• 纸风琴序列在长度$n$处存在无边因子，当且仅当$n$的反转基-2表示被一个特定的4状态自动机拒绝，该结果在6秒CPU时间内验证。
• 通过在确定化前反转NFA，该方法成功应对了状态爆炸问题，实现了Rudin-Shapiro案例中最小DFA的构建。
• 测试框架（包括与前10,000项直接C++计算结果的对比）确保了自动机构造各阶段的正确性。