[论文解读] Automorphic lifts of prescribed types

Toby Gee|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2008

Advanced Algebra and Geometry参考文献 14被引用 4

一句话总结

该论文利用变形环结构结果和模形式提升技术，证明了在 $p$ 以外的素点上具有指定局部类型的残余模 $p$ Galois 表示的自守 Galois 表示的存在性。它证明了 $n$-维自守 Galois 表示的水平提升与水平降低定理，并为推广 Serre 权猜想提供了框架。

ABSTRACT

We prove a variety of results on the existence of automorphic Galois representations lifting a residual automorphic Galois representation. We prove a result on the structure of deformation rings of local Galois representations, and deduce from this and the method of Khare and Wintenberger a result on the existence of modular lifts of specified type for Galois representations corresponding to Hilbert modular forms of parallel weight 2. We discuss some conjectures on the weights of $n$-dimensional mod $p$ Galois representations. Finally, we use recent work of Taylor to prove level raising and lowering results for $n$-dimensional automorphic Galois representations.

研究动机与目标

• 建立具有在不整除 $p$ 的素点上指定局部类型的自守 Galois 表示的存在性，这些表示是给定残余模 $p$ Galois 表示的提升。
• 将 Khare 和 Wintenberger 的方法推广至平行权为 2 的 Hilbert 模形式，证明在标准假设下，水平降低结果在完全一般情形下成立。
• 推广 $n$-维模 $p$ Galois 表示的 Serre 权猜想，特别是在 Hilbert 模形式的背景下。
• 利用 Taylor 的近期工作，证明 $n$-维自守 Galois 表示的水平提升与水平降低定理。
• 为在 $p$ 处无分歧的数域上 $n$-维 Galois 表示的未来 $R=T$ 定理提供一个框架。

提出的方法

• 分析在 $l \neq p$ 的素点上模 $p$ Galois 表示的局部变形环结构，借鉴 Kisin 在 $l=p$ 情形下的工作。
• 应用 Khare 和 Wintenberger 的方法，证明平行权为 2 的 Hilbert 模形式存在指定类型的模形式提升。
• 使用普遍变形环 $R_{\tau}^{univ}$ 及其约化，通过迹生成和 Nakayama 引理证明其在整环 $\mathcal{O}$ 上的有限性。
• 利用 Gouvâea 和 Hida 关于 Hecke 代数的结果，证明 $R_{\tau}^{univ}$ 是 $\mathcal{O}$ 上的有限代数，从而确保自守提升的存在性。
• 借助 Taylor 关于 $R=T$ 定理的近期工作，推导出 $n$-维 Galois 表示的水平提升与水平降低结果。
• 构造一个变形问题 $\mathcal{S}$，在 $Y$ 中的点 $v$ 处指定局部类型 $\tau_v$，并利用普遍变形环将 $\overline{\rho}$ 提升为一个自守表示 $\pi$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，$\mathrm{GL}_n$ 上 $\overline{\mathbb{F}}_l$ 值的残余 Galois 表示 $\overline{\rho}$ 允许在 $v \notin \{p\}$ 的点上具有指定局部类型的模形式提升？
• RQ2 在假设存在普通提升的前提下，是否可以在完全一般的情形下为平行权为 2 的 Hilbert 模形式建立水平降低结果？
• RQ3 对于 $n$-维模 $p$ Galois 表示，可能的 Serre 权是什么？现有猜想应如何推广？
• RQ4 水平提升与水平降低定理在 $n$-维自守 Galois 表示中，能多大程度上推广至二维情形之外？
• RQ5 在何种条件下，普遍变形环 $R_{\tau}^{univ}$ 是 $\mathcal{O}$ 上的有限代数，从而能够构造出自守提升？

主要发现

• 普遍变形环 $R_{\tau}^{univ}$ 是 $\mathcal{O}$-模，其秩至少为 1，从而保证了具有指定局部类型的自守提升的存在性。
• 对于平行权为 2 的 Hilbert 模形式，在 Taylor-Wiles 假设及存在普通提升的前提下，所有不整除 $p$ 的素点上均成立水平降低。
• 当 $p$ 完全分裂且 Taylor-Wiles 假设成立时，Buzzard、Diamond 和 Jarvis 关于 Serre 权的猜想在完全一般情形下被证明。
• 本文证明了 $\dim(R_{\tau}^{univ}) \geq 1$，其推导基于同余式 $\mu_\pi \equiv n \pmod{2}$ 及变形环的结构。
• 基于 Taylor 的近期 $R=T$ 定理，建立了 $n$-维自守 Galois 表示的水平提升与水平降低结果。
• $(R_{\tau}^{univ})^{\text{red}}$ 是 $\mathcal{O}$ 上的有限代数，因为其在 $(R_{\mathcal{S}}^{\text{univ}})^{\text{red}}$ 上有限，而后者同构于一个 $\mathcal{O}$-上有限的 Hecke 代数 $\mathbb{T}$。