[论文解读] Automorphism groups of Beauville surfaces

Gareth A. Jones|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2011

Finite Group Theory Research参考文献 12被引用 4

一句话总结

本文研究了非混合型 Beauville 曲面的自同构群，表明自同构群 $A$ 是一个有限可解群，其具有一个阿贝尔正规子群 $I \cong Z(G)$，即作用群 $G$ 的中心。外自同构群 $A/I$ 嵌入于半直积 $S_3 \wr S_2$ 中，作者证明了每个有限阿贝尔群均可作为 $I$ 实现，即使当 $|A:I|$ 取极值（1 或 72）时亦然。

ABSTRACT

This paper shows that the automorphism group of a Beauville surface is a finite solvable group, and describes its possible structure. It relies on results of Singerman on triangle group inclusions, and of Lucchini on generators for special linear groups.

研究动机与目标

• 刻画非混合型 Beauville 曲面 $\mathcal{S}$ 的完整自同构群 $A = \mathrm{Aut}\,\mathcal{S}$ 的结构。
• 确定 $A$、内自同构群 $I \cong Z(G)$ 与外自同构群 $A/I$ 之间的关系。
• 证明每个有限阿贝尔群均可作为某个 Beauville 曲面 $\mathcal{S}$ 的内自同构群 $I$ 实现，无论 $A/I$ 的大小如何。
• 构造实例，使得 $A/I$ 同时取最小值 2 和最大值 72，从而实现可能的外自同构群的完整范围。

提出的方法

• 利用 Singerman 关于双曲三角形群之间包含关系的结果，将 $A/I$ 限制为 $S_3 \wr S_2$ 的子群。
• 应用 Lucchini 关于特殊线性群生成元的结果，构造具有指定中心 $Z(G)$ 的 Beauville 结构。
• 利用具有三角形群商的有限单群 $L_2(q)$ 显式构造 Beauville 结构，以实现所需的自同构群。
• 利用 $G$ 的域自同构和外自同构作用，诱导出 $\mathcal{S}$ 上的间接自同构，从而将 $A^0$ 扩展为 $A$。
• 利用 $\mathrm{Out}\,\mathcal{S} \cong A/I$ 嵌入于 $S_3 \wr S_2$（阶为 72）的事实，分析极值情形。
• 通过证明 $A/I$ 是 $S_3 \wr S_2$ 的子群（该群可解）且 $I$ 为阿贝尔群，从而证明 $A$ 是可解群。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些有限阿贝尔群可作为某个 Beauville 曲面 $\mathcal{S}$ 的内自同构群 $I \cong Z(G)$ 实现？
• RQ2 对于一个 Beauville 曲面 $\mathcal{S}$，外自同构群 $A/I$ 的可能结构是什么？
• RQ3 能否构造出使得 $A/I$ 达到最大值（同构于 $S_3 \wr S_2$）或最小值（平凡）的 Beauville 曲面？
• RQ4 Beauville 曲面的自同构群 $A$ 是否可能同构于广义二面体群？
• RQ5 曲线 $\mathcal{C}_i$ 的外自同构如何提升为曲面 $\mathcal{S}$ 上的自同构？

主要发现

• 非混合型 Beauville 曲面的自同构群 $A$ 是一个有限可解群。
• 内自同构群 $I \cong Z(G)$ 是 $A$ 的阿贝尔正规子群，且每个有限阿贝尔群均可作为某个 Beauville 曲面的 $I$ 实现。
• 外自同构群 $A/I$ 嵌入于半直积 $S_3 \wr S_2$ 中，该群阶为 72。
• 存在 Beauville 曲面使得 $A/I \cong S_3 \wr S_2$，从而实现最大可能的外自同构群。
• 存在 Beauville 曲面使得 $A/I$ 为平凡群，从而实现最小可能的外自同构群。
• 每个有限广义二面体群均可作为某个 Beauville 曲面 $\mathcal{S}$ 的完整自同构群 $A = \mathrm{Aut}\,\mathcal{S}$ 实现。