[论文解读] Automorphism groups of Inoue and Kodaira surfaces

Yuri Prokhorov, Constantin Shramov|arXiv (Cornell University)|Dec 6, 2018

Advanced Algebra and Geometry参考文献 27被引用 6

一句话总结

本文证明了Inoue曲面与初等Kodaira曲面的自同构群均为Jordan群，即其任意有限子群均含有有界指数的正规阿贝尔子群。作者通过利用这些曲面微分同胚于可解群簇（solvmanifolds）的事实，结合关于Heisenberg群与半直积结构的结果，界定了自同构群中有限子群的阿贝尔正规子群的指数上界。

ABSTRACT

We prove that automorphism groups of Inoue and primary Kodaira surfaces are Jordan.

研究动机与目标

• 证明非代数且非Kähler的紧复曲面（特别是Inoue曲面与初等Kodaira曲面）的自同构群具有Jordan性质。
• 将Jordan性质推广至非Kähler代数曲面，克服现有方法在缺乏代数或Kähler结构时的局限性。
• 基于这些曲面微分同胚于可解群簇的性质，发展一种统一的群论方法，适用于Inoue与Kodaira曲面。
• 证明这些曲面自同构群的有限子群均含有有界指数的正规阿贝尔子群，且该有界性不依赖于曲面的具体参数。

提出的方法

• 利用Inoue曲面与初等Kodaira曲面微分同胚于可解群簇的性质，从而对自同构群进行群论分析。
• 应用Wang群与Heisenberg型群的半直积结构结果，分析自同构群有限子群的群结构。
• 利用群的正合列，将Jordan性质的证明归约为商群中有限子群的有界性以及正规子群的Jordan性质。
• 借助Minkowski定理对GL_n(Q)中有限子群的有界性，控制基本群及其商群中的有限子群。
• 应用拓扑Lefschetz不动点公式，证明有限自同构群在Kodaira曲面上的作用自由，从而保证商曲面仍为初等Kodaira曲面。
• 利用Kodaira曲面基本群作为Heisenberg群与Z的半直积的表示，推导出阿贝尔正规子群指数的统一有界性。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管缺乏代数或Kähler结构，Inoue曲面与初等Kodaira曲面的自同构群是否仍满足Jordan性质？
• RQ2 能否基于基本群的群论方法，在非Kähler紧复曲面上建立Jordan性质？
• RQ3 是否存在一种统一的方法，用于证明微分同胚于可解群簇的曲面的自同构群的Jordan性质？
• RQ4 这些曲面基本群的何种结构性质可保证其自同构群的任意有限子群均含有有界指数的正规阿贝尔子群？
• RQ5 有限自同构群在Kodaira曲面上的作用如何影响其拓扑与几何性质，特别是不动点与商曲面的性质？

主要发现

• 任何Inoue曲面的自同构群均为Jordan群，此结论由引理7.6确立，其依据为基本群的群结构与有限子群的有界性。
• 任何初等Kodaira曲面的自同构群均为Jordan群，此结论由引理8.3证明，其依据为基本群作为半直积的结构及有限群作用的自由性。
• Inoue曲面与Kodaira曲面自同构群的有限子群在曲面上的作用均为自由作用，从而保证商曲面仍为同类型曲面。
• 有限子群中正规阿贝尔子群的指数有界性仅依赖于曲面的基本群，而不依赖于具体的有限子群。
• 由于Inoue与Kodaira曲面共享作为可解群簇的微分同胚类型及相似的群论结构，该证明方法可统一适用于两者。
• 尽管这些曲面非代数亦非Kähler，Jordan性质依然成立，从而将结果扩展至[YZ18]与[Kim18]等先前工作的适用范围之外。