[论文解读] Automorphisms of generalised Kummer fourfolds

Giovanni Mongardi, Kévin Tari+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 26被引用 5

一句话总结

本文利用格理论、单值群和 ample 锥结构，对广义 Kummer 四fold 的素数阶非辛及有限辛自同构群进行了分类。研究提供了辛自同构的完整分类，以及非辛自同构的部分分类，并给出了几何实现，同时将结果推广至高维 Kummer 流形。

ABSTRACT

We classify non symplectic prime order automorphisms and all finite order symplectic automorphism groups of generalised Kummer fourfolds using lattice theory and recent results on ample cones and monodromy groups. We study various geometric realisations of the automorphisms obtained in the classification. In the case of higher dimensional generalised Kummers, we provide full results for finite symplectic automorphisms groups and we sketch the classification for prime order non-symplectic groups.

研究动机与目标

• 利用格论方法，对广义 Kummer 四fold 的素数阶非辛自同构进行分类。
• 对四维广义 Kummer 流形上的有限阶辛自同构群进行完全分类。
• 将分类结果推广至高维广义 Kummer 流形，特别是针对辛自同构。
• 研究通过格嵌入与诱导作用得到的自同构的几何实现。
• 确定特定群作用在 Kummer 型流形上可实现的最小维数。

提出的方法

• 利用格论分析广义 Kummer 四fold 的上同调格 $H^2(X,\mathbb{Z}) \cong U^3 \oplus \langle -6 \rangle$。
• 应用关于单值群与 ample 锥的最新结果，以限制可能的自同构作用。
• 将具有指定符号型与可除性的格进行初等嵌入，嵌入至 K3 格 $\Lambda$。
• 利用上同调表示 $\nu: \mathrm{Aut}(X) \to O(H^2(X,\mathbb{Z}))$，通过其在上同调上的作用对自同构进行分类。
• 应用双曲流形的 Torelli 定理，将 Hodge 等距与双有理几何及单值群联系起来。
• 应用 [Yos12] 中关于墙类与可除性的结果，排除辛情形下某些共不变格的可能。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些有限群作为广义 Kummer 四fold 上的辛自同构群出现？
• RQ2 对于哪些素数阶 $p$，广义 Kummer 四fold 上存在非辛自同构？其格论不变量为何？
• RQ3 给定群作用在 Kummer 型流形上可实现的最小维数是多少？
• RQ4 哪些辛自同构的共不变格可在高维 Kummer 流形上实现？
• RQ5 Kummer 四fold 上的诱导自同构与自然自同构如何与格等距及几何实现相关联？

主要发现

• 本文利用格论约束，对广义 Kummer 四fold 上的有限辛自同构群提供了完整分类。
• 证明了不存在具有共不变格 $A_1^4(-1)$ 的辛对合，原因在于可除性条件导致的墙类障碍。
• 对于辛阶三自同构，当 $n+1$ 不被 3 整除时，共不变格 $A_2^2(-1)$ 可在高维 Kummer 流形上实现。
• 确定了某些非辛群作用的最小实现维数，例如阶 7 的作用在维数 6 实现，某些 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 作用在维数 8 实现。
• 对四维情形下素数阶（2, 3, 5, 7）的非辛自同构分类已完成，并提供了几何实现。
• 建立了辛自同构可实现性的判别准则：$\mathrm{rk}(S_G(E_8(-1))) + l(A_{S_G(E_8(-1))}) < 8$。