[论文解读] Automorphisms of pointless surfaces

Constantin Shramov, Vadim Vologodsky|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 43被引用 17

一句话总结

该论文证明了：在特征 ≠ 2,3 的域（或特征为 3 的完美域）上，若几何有理曲面不双有理等价于射影直线与圆锥的乘积，则其双有理自同构群的有限子群有界。关键技术进展在于证明了在包含所有单位根的完美域上，非迷向半单代数群的有限子群有界，该结果通过曲面与圆锥丛的几何与群论方法，实现了主定理的证明。

ABSTRACT

For a geometrically rational surface X over an arbitrary field of characteristic different from 2 and 3 that contains all roots of 1, we show that either X is birational to a product of a projective line and a conic, or the group of birational automorphisms of X has bounded finite subgroups. As a key step in the proof, we show boundedness of finite subgroups in any anisotropic reductive algebraic group over a perfect field that contains all roots of 1. Also, we provide applications to Jordan property for groups of birational automorphisms.

研究动机与目标

• 确定在包含所有单位根的域上，几何有理曲面的双有理自同构群何时具有有界有限子群。
• 将先前关于双有理自同构群中有限子群有界性的结果，推广至无有理点的曲面（即“无点曲面”）。
• 建立在包含所有单位根的完美域上，非迷向半单代数群的有限子群有界的一般性结果。
• 将该有界性结果应用于证明某些曲面的双有理自同构群具有乔丹性质。
• 提供判断曲面是否不双有理等价于 P^1 × C（C 为圆锥）的准则，利用布饶尔群核。

提出的方法

• 利用伽罗瓦下降与代数群结构理论，证明在包含所有单位根的完美域上，非迷向半单代数群的有限子群有界。
• 利用商与几何不变量理论，构造代数簇上群作用的等变商，依赖于定理 A.4 中几何商的存在性。
• 应用引理 A.5 证明：若一个代数簇有非平凡的 G_m 或 G_a 作用，则其双有理等价于 P^1 × Y，从而可约化为更简单的几何模型。
• 利用完美域上非半单群必含 G_a 子群的事实，通过推论 A.7 得到双有理等价于 P^1 × Y。
• 分析布饶尔群拉回映射 Br(K) → Br(X) 的核，以检测曲面是否不双有理等价于 P^1 × C。
• 综合圆锥丛、西弗雷-布饶尔曲面与二次曲面的结果，建立特定几何情形下的有界性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在包含所有单位根的域上，几何有理曲面的双有理自同构群何时具有有界有限子群？
• RQ2 在特征 ≠ 2,3 或为特征 3 的完美域的条件下，哪些条件可保证无点曲面 X 的 Bir(X) 中有限子群有界？
• RQ3 一个代数簇上存在非平凡的 G_m 或 G_a 作用时，如何导致其双有理等价于 P^1 × Y？
• RQ4 在何种情况下曲面不双有理等价于 P^1 × C？如何通过布饶尔群检测这一性质？
• RQ5 非迷向半单群在控制双有理自同构群中有限子群结构方面起什么作用？

主要发现

• 在包含所有单位根的域 K 上，若 char K ≠ 2,3 或 K 为特征 3 的完美域，则几何有理曲面 X 的双有理自同构群 Bir(X) 具有有界有限子群，当且仅当 X 不双有理等价于 P^1 × C（C 为圆锥）。
• 在包含所有单位根的完美域上，非迷向半单代数群的有限子群大小有界，这是主定理中使用的关键技术结果。
• 在特征 2 或 3 的域上，Bir(X) 具有 char K-有界有限子群，当且仅当 X 不双有理等价于 P^1 × C，其中 C 为圆锥。
• 无 K-有理点的西弗雷-布饶尔曲面、非同构非有理圆锥的乘积，以及 P^3 中无 K-有理点且 Picard 群为 Z 的光滑二次曲面，其 Bir(X) 均具有 char K-有界有限子群。
• 若域的特征 ≠ 2,3 或为特征 3 的完美域，则此类曲面的 Bir(X) 具有有界有限子群。
• 证明依赖于如下事实：具有非平凡 G_m 或 G_a 作用的代数簇双有理等价于 P^1 × Y，从而可约化为更简单的双有理模型。