[论文解读] Automorphisms of surfaces: Kummer rigidity and measure of maximal entropy

Serge Cantat, Christophe Dupont|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 65被引用 14

一句话总结

该论文对具有正熵自同构且其唯一最大熵不变测度关于勒贝格测度绝对连续的复射影曲面进行了分类。利用复动力系统、Kummer曲面理论以及Dinh-Sibony关于阿爾福斯当前的定理，作者证明：此类测度绝对连续当且仅当曲面是通过复环面的有限群作用及周期轨道的爆破得到的经典Kummer曲面。

ABSTRACT

We classify complex projective surfaces with an automorphism of positive entropy for which the unique invariant measure of maximal entropy is absolutely continuous with respect to Lebesgue measure.

研究动机与目标

• 对具有正熵自同构且其最大熵测度关于勒贝格测度绝对连续的复射影曲面进行分类。
• 解决Curtis T. McMullen与第一作者提出关于此类系统刚性的问题。
• 刻画K3曲面上最大熵测度与典范体积形式重合的条件。
• 确立此类系统仅来源于阿贝尔曲面的等变商曲面及随后对周期轨道的爆破。
• 证明在一般K3曲面上，最大熵测度关于勒贝格测度是奇异的，与有理曲面上已知例子形成对比。

提出的方法

• 利用Gromov-Yomdin定理将拓扑熵与上同调上诱导作用的谱半径联系起来。
• 应用不变当前与调和当前理论分析K3曲面上自同构的动力学。
• 运用Dinh-Sibony定理研究阿爾福斯当前以检测某些子集内无Brody曲线，从而暗示双曲性。
• 使用全纯曲线正规族及其重标度化概念研究稳定流形的结构。
• 应用Hartogs延拓定理与全纯叶状结构技术分析奇异曲面上曲线的行为。
• 依赖Kummer构造：从具有有限群作用（具体为对合−Id）的阿贝尔曲面出发，通过奇点的解析化得到诱导自同构的K3曲面。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些复射影曲面允许具有正熵的自同构，使得其最大熵测度关于勒贝格测度绝对连续？
• RQ2 在K3曲面上，最大熵测度绝对连续的自同构的精确几何与动力学特征是什么？
• RQ3 最大熵测度能否与K3曲面上的典范体积形式一致，其成立条件是什么？
• RQ4 是否存在具有正熵自同构的K3曲面，使得其最大熵测度是奇异的，这与有理曲面的动力学有何不同？
• RQ5 Kummer构造在实现最大熵测度的绝对连续性中起到何种作用？

主要发现

• 唯一最大熵不变测度关于勒贝格测度绝对连续当且仅当曲面是复环面关于对合−Id的商曲面的最小解析化得到的经典Kummer曲面。
• 在这样的Kummer曲面上，最大熵测度与由全纯2-形式诱导的归一化体积形式一致。
• 对于(P^1)^3中(2,2,2)型的一般K3曲面，最大熵测度关于勒贝格测度是奇异的。
• 与自同构相关的当前T^+ + T^-在奇异模型X_0上具有连续势函数，使得Dinh-Sibony定理可应用。
• 模周期曲线的Fatou集是Kobayashi双曲的，即零Kobayashi距离的点位于可约周期曲线上。
• 在解析化映射下，Fatou集像中无Brody曲线，意味着双曲性，该性质被用于排除某些全纯曲线的存在，并证明主要分类结果。