[论文解读] AVERAGE RANK OF ELLIPTIC CURVES

Séminaire Bourbaki, Arul Shankar+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 34被引用 5

一句话总结

Bhargava 和 Shankar 证明了有理数域上椭圆曲线的平均秩是有上界的，他们通过推导出有理数域上椭圆曲线的 2- Selmer 群平均大小的精确公式，从而证明了这一点，该公式基于有界不变量的整系数二元四次型的渐近计数。这给出了有理数域上椭圆曲线平均秩的第一个无条件上界。

ABSTRACT

Bhargava and Shankar prove that as E varies over all elliptic curves over Q, the average rank of the finitely generated abelian group E(Q) is bounded. This result follows from an exact formula for the average size of the 2-Selmer group, which in turn follows from an asymptotic formula for the number of binary quartic forms over Z with bounded invariants. We explain their proof, as well as other arithmetic applications.

研究动机与目标

• 确定有理数域 Q 上椭圆曲线的平均秩。
• 为有理数域 Q 上所有椭圆曲线的平均秩建立一个无条件的上界。
• 推导出所有椭圆曲线的 2-Selmer 群平均大小的精确公式。
• 将椭圆曲线的算术性质与有界不变量的整系数二元四次型的渐近计数联系起来。
• 为算术统计以及 Birch 和 Swinnerton-Dyer 猜想的进一步应用提供基础。

提出的方法

• 推导出具有有界不变量的整系数二元四次型数量的渐近公式。
• 利用渐近计数计算有理数域上椭圆曲线的 2-Selmer 群的平均大小。
• 应用 2-Selmer 群的大小，通过 Mordell-Weil 群的结构来界定 E(Q) 的平均秩。
• 建立 2-Selmer 群平均大小的精确公式，这是界定平均秩的关键。
• 利用数的几何与不变量理论分析二元四次型的分布。
• 利用整系数二元四次型对 2-Selmer 元素的参数化，将计数与算术不变量联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在所有有理数域上的椭圆曲线中，椭圆曲线的平均秩是多少？
• RQ2 在所有有理数域上的椭圆曲线中，2-Selmer 群的大小平均表现如何？
• RQ3 具有有界不变量的整系数二元四次型的数量的渐近增长速率是什么？
• RQ4 2-Selmer 群的平均大小能否被精确计算，这对平均秩意味着什么？
• RQ5 这些结果对椭圆曲线上有理点的分布有何影响？

主要发现

• 有理数域上椭圆曲线的平均秩被一个有限常数上界所限制。
• 在所有有理数域上的椭圆曲线中，2-Selmer 群的平均大小恰好为 3。
• 具有有界不变量的整系数二元四次型的渐近数量已被确定，从而能够精确计算 2-Selmer 群的平均值。
• 平均秩的上界是无条件的，且源于 2-Selmer 群大小的精确公式。
• 该方法为研究更高阶 Selmer 群及未来平均秩上界提供了框架。
• 这些结果支持一个猜想：在极限情况下，大多数椭圆曲线的秩为 0 或 1，且每种情况的密度均为 1/2。