[论文解读] Average structures associated with a Finsler space

Ricardo Gallego Torromé|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2005

Advanced Differential Geometry Research参考文献 12被引用 9

一句话总结

本文提出了一种平均化方法，将Finsler几何对象（如基本度量张量、Chern-Rund联络和曲率自同态）转化为基流形上的等价仿射或黎曼结构。主要贡献在于构造了一个平均黎曼度量和联络，使得黎曼几何定理（例如高斯-博内定理）可推广至Berwald空间，并通过曲率平均化得到新的仿射、局部等距不变量。

ABSTRACT

Given a Finsler space (M,F) on a manifold M, the averaging method associates to Finslerian geometric objects affine geometric objects} living on $M$. In particular, a Riemannian metric is associated to the fundamental tensor $g$ and an affine, torsion free connection is associated to the Chern-Rund connection. As an illustration of the technique, a generalization of the Gauss-Bonnet theorem to Berwald surfaces using the average metric is presented. The parallel transport and curvature endomorphisms of the average connection are obtained. The holonomy group for a Berwald space is discussed. New affine, local isometric invariants of the original Finsler metric. The heredity of the property of symmetric space from the Finsler space to the average Riemannian metric is proved.

研究动机与目标

• 通过在指标化球面上积分，系统地建立Finsler空间与黎曼及仿射几何结构之间的关联。
• 将黎曼几何结果（如高斯-博内定理）推广至Finsler范畴，特别适用于Berwald空间。
• 利用Chern-Rund联络的平均曲率自同态构造Finsler度量的新仿射、局部等距不变量。
• 通过平均黎曼度量的视角，研究Berwald空间的Holonomy与等距性质。
• 证明在适当条件下，Finsler几何中的对称空间性质可被平均黎曼度量继承。

提出的方法

• 通过在每点 $x \in M$ 的指标化球面 $I_x$ 上对Finsler几何对象（如基本度量张量和曲率自同态）进行积分，利用射流丛 $N = TM \setminus \{0\}$ 上的规范测度实现平均化。
• 平均度量 $h$ 定义为 $\langle g \rangle_ x = \frac{1}{\text{vol}(I_x)} \int_{I_x} g_y \, d\mu_y$，从而将Finsler度量转化为流形 $M$ 上的黎曼结构。
• 通过在指标化球面上对Chern-Rund联络的分量进行平均，构造出 $TM$ 上的仿射、无扭转联络 $\langle \nabla \rangle$。
• 通过垂直与水平提升，从 $\hat{\pi}^*TM$ 上原始线性联络的对应算子推导出平均联络的平行移动与曲率自同态。
• 曲率自同态 $\langle R \rangle$、$\langle P \rangle$ 与 $\langle Q \rangle$ 定义为Chern-Rund联络的黎曼、hv-与vv-曲率张量在 $I_x$ 上的平均值。
• 通过在 $M$ 上对平均度量的体积形式 $d\mu$ 积分标量函数 $\mathcal{F}_R(\langle R \rangle, h)$ 与 $\mathcal{F}_P(\langle P \rangle, h)$，构造等距不变量。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过平均化构造，将黎曼几何定理（如高斯-博内定理）推广至Berwald Finsler空间？
• RQ2 Berwald空间的Holonomy与其平均黎曼度量的Holonomy之间存在何种关系？
• RQ3 对称Finsler空间是否诱导出对称的平均黎曼度量？在何种条件下成立？
• RQ4 Chern-Rund联络的基于曲率的自同态能否被平均化，从而得到Finsler度量的新仿射、局部等距不变量？
• RQ5 在原始Finsler结构的等距变换下，平均度量的行为如何？由此产生哪些不变量？

主要发现

• 当 $a_{ij} = \delta_{ij}$ 时，对于Randers度量 $F_R = \alpha + \beta$，平均度量 $h$ 与1-形式 $b$ 无关，且在指标化球面上退化为欧氏情形。
• 在Berwald空间中，平均度量 $h$ 的黎曼曲率张量由Chern-Rund联络的黎曼曲率张量平均化得到。
• 通过平均度量，建立了Berwald曲面的高斯-博内定理推广，将经典黎曼结果扩展至Finsler设定。
• 平均曲率自同态 $\langle P \rangle$ 与 $\langle Q \rangle$ 在 $M$ 上全局定义，并通过积分 $\int_M d\mu \, \mathcal{F}_P(\langle P \rangle, h)$ 产生新的仿射、局部等距不变量。
• 若指标化球面体积为常数且 $(M,a)$ 为对称空间，则平均度量继承Finsler空间的对称空间性质，即使不假设可逆性亦成立。
• 基于曲率的不变量 $\int_M d\mu \, \mathcal{F}_R(\langle R \rangle, h)$ 与 $\int_M d\mu \, \mathcal{F}_P(\langle P \rangle, h)$ 在原始Finsler度量 $F$ 的等距变换下保持不变，这是由于测度不变性与联络不变性所致。