[论文解读] Avoid First Order Quantum Phase Transition by Changing Problem Hamiltonians

Vicky Choi|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2010

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 37被引用 5

一句话总结

本论文表明，通过在绝热量子优化中对NP难的最大独立集（MIS）问题的哈密顿量进行重参数化——具体而言通过缩放顶点权重——可以避免一阶量子相变（FQPT），从而显著增大最小能隙。在具有指数级众多局部极大值的15个顶点的CK图上，数值结果表明，最小能隙从指数级微小值提升至多项式级大值，使得无需改变问题实例即可实现高效的绝热演化。

ABSTRACT

In Amin and Choi \cite{AC09}, we show that an adiabatic quantum algorithm for the NP-hard maximum independent set (MIS) problem on a set of special family of graphs in which there are exponentially many local maxima would have the exponentially small minimum spectral gap and thus would require the exponential time, due to the first order quantum phase transition (FQPT). The problem Hamiltonian of the adiabatic quantum algorithm for MIS is based on the reduction to the Ising problem and has flexible parameters. In this paper, we show numerically on the 15-vertex graph that by choosing the parameters appropriately in the problem Hamiltonian (without changing the problem to be solved) for MIS, we can prevent the FQPT and drastically increase the minimum spectral gap. The result is further supported by visualization from the Decomposed State Evolution Visualization (\desev) --- a visualization tool we introduced. Furthermore, our result also serves to concretely clarify that it is not sufficient to consider one specific problem Hamiltonian for proving the failure of adiabatic quantum optimization for a problem. We also raise the basic question about what the appropriate formulation of adiabatic running time should be.

研究动机与目标

• 研究通过调节问题哈密顿量的参数，是否可以在绝热量子优化中避免一阶量子相变（FQPT）。
• 证明此前被认为会导致绝热算法失效的FQPT引发的指数级微小能隙，可通过不改变问题实例的方式得到缓解。
• 通过数值模拟和可视化工具，验证参数重加权在提升最小能隙方面的有效性。
• 挑战一种假设，即某一类绝热算法的失败意味着该NP难问题的所有绝热方法均本质上不可行。
• 通过分析量子态演化的新颖可视化工具，为设计高效绝热量子算法提供洞见。

提出的方法

• 作者通过使用参数k缩放顶点权重，对最大独立集（MIS）问题的问题哈密顿量进行重参数化，从而在不改变问题本身的情况下有效调整能量景观。
• 对系统哈密顿量进行数值对角化，计算能隙随绝热演化参数s的变化。
• 将最小能隙g_min识别为绝热运行时间的关键瓶颈，并分析其在不同缩放因子k下的行为。
• 使用一种新型可视化工具——分解态演化可视化（DeSEV），追踪基态与第一激发态的演化，揭示避免能级交叉现象及FQPT的特征。
• 研究聚焦于一个15个顶点的CK图，该图是专门构造的、具有指数级众多MIS局部极大值的图族，以隔离FQPT的影响。
• 通过比较多个缩放参数k（k=1,2,3,5,10,50）下的结果，识别出能有效抑制FQPT的最优参数选择。

实验结果

研究问题

• RQ1 通过调节问题哈密顿量中的参数，是否可以在绝热量子优化中避免一阶量子相变？
• RQ2 在具有指数级众多局部极大值的实例中，重参数化问题哈密顿量是否能显著增大最小能隙？
• RQ3 问题哈密顿量参数的选择在多大程度上影响绝热量子算法中FQPT的发生？
• RQ4 像DeSEV这样的可视化工具能否提供对避免能级交叉机制及能隙抑制的洞见？
• RQ5 能否将某一类绝热算法的失败推广至该NP难问题的所有绝热算法？

主要发现

• 对于具有指数级众多局部极大值的15个顶点的CK图，原始问题哈密顿量导致最小能隙呈指数级微小，表明存在FQPT并导致指数级绝热运行时间。
• 通过k=50的顶点权重缩放，最小能隙从指数级微小值显著提升至多项式级大值，表明FQPT被有效抑制。
• DeSEV可视化结果证实，在最优参数设置下，FQPT特有的避免能级交叉特征消失，基态与第一激发态的演化呈现平滑特征。
• 本研究证明，某一特定绝热算法因FQPT而失败，并不意味着该问题的所有绝热方法均本质上不可行。
• 结果表明，对问题哈密顿量中的参数进行调节，是提升绝热量子优化性能的可行策略。
• 本文提出一个根本性问题：鉴于参数调节可改变其标度关系，是否应将绝热运行时间仅定义为最小能隙的倒数？