[论文解读] The role of symmetries in adiabatic quantum algorithms

Gernot Schaller, Ralf Schützhold|arXiv (Cornell University)|Aug 14, 2007

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 5被引用 6

一句话总结

本文提出了一种用于NP完全问题（如Exact Cover 3）的对称性恢复绝热量子算法，其哈密顿量仅包含线性和二次泡利项。通过利用与对称性恢复相关的二阶量子相变，该方法在平均性能上优于传统绝热方案，并在将问题编码为二次哈密顿量时，对因数分解和TEA密钥搜索等问题展现出相对于Grover算法的潜在指数级加速。

ABSTRACT

Exploiting the similarity between adiabatic quantum algorithms and quantum phase transitions, we argue that second-order transitions -- typically associated with broken or restored symmetries -- should be advantageous in comparison to first-order transitions. Guided by simple examples we construct an alternative adiabatic algorithm for the NP-complete problem {\em Exact Cover 3}. We show numerically that its average performance (for the considered cases up to ${\cal O}\{20\}$ qubits) is better than that of the conventional scheme. The run-time of adiabatic algorithms is not just determined by the minimum value of the fundamental energy gap (between the ground state and the exited states), but also by its curvature at the critical point. The proposed symmetry-restoring adiabatic quantum algorithm only contains contributions linear and quadratic in the Pauli matrices and can be generalized to other problem Hamiltonians which are decomposed of terms involving one and two qubits. We show how the factoring problem can be cast into such a quadratic form. These findings suggest that adiabatic quantum algorithms can solve a large class of NP problems much faster than the Grover search routine (which corresponds to a first-order transition and yields a quadratic enhancement only).

研究动机与目标

• 研究与对称性恢复相关的二阶量子相变是否能提升绝热量子算法的性能。
• 解决传统绝热算法的局限性，即最小能隙随系统尺寸指数减小，导致运行时间过长。
• 设计一种仅使用线性和二次泡利相互作用的新绝热算法，此类相互作用比高阶项更具物理实现性与可扩展性。
• 证明诸如因数分解和Tiny Encryption Algorithm（TEA）密钥恢复等问题可被编码为适合绝热量子计算的二次哈密顿量。

提出的方法

• 构建一种用于Exact Cover 3的新绝热算法，其哈密顿量完全由线性和二次泡利矩阵项组成。
• 采用时间依赖的哈密顿量，介于具有已知基态的初始哈密顿量与编码解的最终问题哈密顿量之间进行插值。
• 利用二阶量子相变的特性——临界点处能隙呈代数缩放——而非一阶相变中指数极小的能隙。
• 应用绝热定理，确保若插值足够缓慢，系统在整个演化过程中保持在基态，且运行时间与最小能隙成反比。
• 使用辅助量子比特和可逆操作（加法、异或、位移）将经典NP问题（如因数分解和TEA密钥恢复）编码为二次哈密顿量。
• 通过数值模拟表明，该算法在约20量子比特以内的系统尺寸下，平均运行时间优于传统绝热方案。

实验结果

研究问题

• RQ1 与对称性恢复相关的二阶量子相变是否能带来相较于一阶相变更优的绝热量子算法性能？
• RQ2 基于仅线性和二次泡利相互作用的绝热算法，其运行时间缩放是否优于传统方案在NP完全问题上的表现？
• RQ3 能否高效地将如因数分解和Tiny Encryption Algorithm（TEA）密钥恢复等问题编码为适合绝热量子计算的二次哈密顿量？
• RQ4 在绝热量子算法中，临界点处能隙曲率与总演化时间之间存在何种关系？
• RQ5 所提出的基于对称性的方法是否能实现超越Grover算法（仅提供二次加速）的加速？

主要发现

• 所提出的对称性恢复绝热算法在Exact Cover 3问题上展现出优于传统方案的平均性能，数值结果涵盖至20量子比特。
• 由于临界点处更优的能隙行为，运行时间缩放得到改善，最小能隙呈代数减小而非指数减小。
• 该算法基于仅含线性和二次泡利项的哈密顿量，相比高阶相互作用更易于物理实现，且更抗退相干。
• 通过使用O(nℓ)个辅助量子比特，可将因数分解和TEA密钥恢复编码为二次哈密顿量，从而实现相对于经典暴力搜索的潜在指数级加速。
• 该方法表明，绝热量子算法可能显著加快求解一大类NP问题，尤其当问题哈密顿量在泡利矩阵中为二次时，其速度远超Grover算法。
• 数值证据支持算法复杂度呈多项式缩放，表明对某些问题，其复杂度可能相对于Grover算法的二次缩放实现指数级加速。