[论文解读] Babuška-Osborn techniques in discontinuous Galerkin methods: $L^2$-norm error estimates for unstructured meshes

Emmanuil H. Georgoulis, Charalambos Makridakis+1 more|Leicester Research Archive (University of Leicester)|Apr 18, 2017

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 16被引用 5

一句话总结

该论文通过引入一种新型的、与网格相关的 inf-sup 稳定性条件，在非结构化、可能具有层状结构的网格上建立了对称内罚间断伽辽金（dG）方法的最优 $\operatorname{L}^2$-范数先验误差估计。关键贡献在于证明了如下形式的误差界：$\|u - u_h\|_{\operatorname{L}^2} \leq C\left(\sum_{K\in\mathscr{T}} h_K^4 \|D^2 u\|_{\operatorname{L}^2(K)}^2\right)^{1/2}$，该结果在标准误差界的基础上实现了改进，消除了对全局最大网格尺寸的依赖，并将结果从协调方法推广至 dG 方法，且在满足网格层状条件的前提下成立。

ABSTRACT

We prove the inf-sup stability of the interior penalty class of discontinuous Galerkin schemes in unbalanced mesh-dependent norms, under a mesh condition allowing for a general class of meshes, which includes many examples of geometrically graded element neighbourhoods. The inf-sup condition results in the stability of the interior penalty Ritz projection in $L^2$ as well as, for the first time, quasi-best approximations in the $L^2$-norm which in turn imply a priori error estimates that do not depend on the global maximum meshsize in that norm. Some numerical experiments are also given.

研究动机与目标

• 推导对称内罚间断伽辽金方法在非结构化、几何层状网格上的最优 $\operatorname{L}^2$-范数先验误差估计。
• 通过在非对称、与网格相关的范数下建立 inf-sup 稳定性，将 Babuška-Osborn 框架扩展至 dG 方法。
• 利用局部化泡函数技术，克服 dG 方法中的技术挑战，如处理界面项和非协调跳跃项。
• 在 $\operatorname{L}^2$ 误差界中消除对全局最大网格尺寸的依赖，实现准最优性。
• 通过绕过超出 $\operatorname{H}^1$ 的正则性假设，使自适应 dG 方案在 $\operatorname{L}^2$-范数下的收敛性分析成为可能。

提出的方法

• 在非对称的 $\operatorname{L}^2$ 和类似 $\operatorname{H}^2$ 的与网格相关的范数下，为内罚 dG 双线性形式引入一种新的 inf-sup 条件。
• 将协调有限元分析中的局部化技术应用于 dG 设置，并加以调整以处理非协调项和跳跃项。
• 使用一种新颖的 $\operatorname{H}^2$-协调重构算子，用于后验误差分析，以控制相容性误差。
• 采用非标准的泡函数技术，以控制内罚弱形式中产生的界面项。
• 在满足网格条件 $\|\llbracket h\rrbracket / \{\!\{h\}\}\|_{\operatorname{L}^\infty(\Gamma_{\rm int})} \leq \alpha < 1$ 的前提下建立稳定性，从而允许使用几何层状网格。
• 避免了先前工作中依赖超逼近论证的方法，从而在误差界中实现了对多项式阶数更优的依赖关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不依赖全局最大网格尺寸的前提下，为 dG 方法推导出最优的 $\operatorname{L}^2$-范数误差估计？
• RQ2 在一般非结构化网格条件下，如何将 Babuška-Osborn 框架扩展至 dG 方法？
• RQ3 何种网格条件可确保 dG 格式在与网格相关的范数下的 inf-sup 稳定性？
• RQ4 在非协调设置下，能否利用局部化泡函数有效控制 dG 双线性形式中的界面项？
• RQ5 如何在仅假设正则性为 $\operatorname{H}^1$ 的前提下，仍实现 $\operatorname{L}^2$-范数下的最优收敛性？

主要发现

• 论文在非对称、与网格相关的范数下，为内罚 dG 方法证明了一种新的 inf-sup 条件，确保在满足网格层状条件时的稳定性。
• 建立了形式为 $\|u - u_h\|_{\operatorname{L}^2} \leq C\left(\sum_{K\in\mathscr{T}} h_K^4 \|D^2 u\|_{\operatorname{L}^2(K)}^2\right)^{1/2}$ 的最优 $\operatorname{L}^2$-范数误差估计，优于标准误差界。
• 该误差界不依赖于全局最大网格尺寸 $h_{\max}$，因此适用于自适应、层状网格。
• 该分析仅要求函数属于 $\operatorname{H}^1(\Omega)$，无需 $\operatorname{H}^s$ 正则性且 $s > 3/2$。
• 该方法避免了超逼近技术，从而在误差界中实现了对多项式阶数 $k$ 更优的依赖关系。
• 数值实验验证了理论收敛速率，并证实了在层状网格上估计的鲁棒性。