[论文解读] Backdoors to Normality for Disjunctive Logic Programs

Johannes K. Fichte, Stefan Szeider|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2013

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 33被引用 18

一句话总结

本文引入了到正则性的回溯门（backdoors）作为析取逻辑程序的结构参数，以实现从二阶多项式阶层（PH）问题——即勇敢推理（Brave）与怀疑推理（Skeptical Reasoning）——到命题可满足性（Sat）的固定参数可追踪（FPT）归约。通过利用小规模的回溯门（即删除某些原子后能使程序变为正则程序的原子集合），作者实现了 O(2^k n²) 的转换时间，将指数级膨胀限制在参数 k 内，从而使得超出 NP 或 co-NP 的问题也能通过 SAT 求解器高效求解。

ABSTRACT

Over the last two decades, propositional satisfiability (SAT) has become one of the most successful and widely applied techniques for the solution of NP-complete problems. The aim of this paper is to investigate theoretically how Sat can be utilized for the efficient solution of problems that are harder than NP or co-NP. In particular, we consider the fundamental reasoning problems in propositional disjunctive answer set programming (ASP), Brave Reasoning and Skeptical Reasoning, which ask whether a given atom is contained in at least one or in all answer sets, respectively. Both problems are located at the second level of the Polynomial Hierarchy and thus assumed to be harder than NP or co-NP. One cannot transform these two reasoning problems into SAT in polynomial time, unless the Polynomial Hierarchy collapses. We show that certain structural aspects of disjunctive logic programs can be utilized to break through this complexity barrier, using new techniques from Parameterized Complexity. In particular, we exhibit transformations from Brave and Skeptical Reasoning to SAT that run in time O(2^k n^2) where k is a structural parameter of the instance and n the input size. In other words, the reduction is fixed-parameter tractable for parameter k. As the parameter k we take the size of a smallest backdoor with respect to the class of normal (i.e., disjunction-free) programs. Such a backdoor is a set of atoms that when deleted makes the program normal. In consequence, the combinatorial explosion, which is expected when transforming a problem from the second level of the Polynomial Hierarchy to the first level, can now be confined to the parameter k, while the running time of the reduction is polynomial in the input size n, where the order of the polynomial is independent of k.

研究动机与目标

• 解决析取答案集编程（Asp）中超出 NP 或 co-NP 的推理问题，特别是勇敢推理与怀疑推理。
• 克服理论障碍：除非多项式阶层坍缩，否则无法从二阶 PH 问题多项式时间归约到 Sat。
• 识别析取逻辑程序中的结构参数，使能将问题固定参数可追踪（FPT）地归约到 Sat，从而实现现代 SAT 求解器的实际应用。
• 证明到正则性的回溯门（而非到紧致性的回溯门）是实现此类 FPT 归约的关键，因为到紧致性的回溯门无法带来可追踪性。
• 为将 SAT 求解器的应用范围扩展到 NP 之外的更广泛组合优化问题提供理论基础。

提出的方法

• 将到正则性的回溯门定义为最小原子集合，其删除可使析取逻辑程序转化为无析取（即正则）程序。
• 设计一种算法，在 O(2^k n²) 时间内，检测给定大小为 n 的程序是否存在大小至多为 k 的强回溯门。
• 构造两个命题公式 F_Brave(a*) 和 F_Skept(a*)，使得 F_Brave(a*) 可满足当且仅当原子 a* 属于至少一个答案集，F_Skept(a*) 不可满足当且仅当 a* 属于所有答案集。
• 利用正则程序的勇敢与怀疑推理分别属于 NP 和 co-NP 的事实，降低原问题的复杂度。
• 运用参数化复杂度理论证明，指数级代价被限制在回溯门大小 k 上，其余计算部分在输入大小 n 上为多项式时间。
• 证明到紧致性的回溯门无法实现类似的 FPT 归约，因为即使距离紧致性仅一步的程序仍保持完整的二阶 PH 复杂度。

实验结果

研究问题

• RQ1 析取逻辑程序的结构特性是否能实现从二阶 PH 推理问题到命题可满足性的固定参数可追踪归约？
• RQ2 最小到正则性回溯门的大小是否可作为实现 ASP 推理问题 FPT 归约的可行参数？
• RQ3 为何到正则性的回溯门在 FPT 归约中有效，而到紧致性的回溯门则无效？
• RQ4 在何种程度上可通过此类基于回溯门的编码，利用现代 SAT 求解器求解困难的 ASP 问题？
• RQ5 是否存在实际的 ASP 实例类别，其到正则性的回溯门足够小，使得 FPT 归约在实际中高效？

主要发现

• 本文证明，析取 ASP 中的勇敢与怀疑推理可在 O(2^k n²) 时间内归约为 Sat，其中 k 为最小到正则性回溯门的大小，n 为输入大小。
• 到正则性的回溯门使得 FPT 归约成为可能，从而打破从多项式阶层第二级到第一级的复杂度障碍，前提是参数 k 较小。
• 实验表明，如 ConformantPlanning 这类结构化实例的正则回溯门极小（平均仅占总原子数的 0.69%），表明其具有实际可行性。
• 相比之下，随机及困难基准实例（如 RandomQBF、Mutex）表现出较大的回溯门（最大达 49.94%），表明此类方法在这些实例上存在局限。
• 最小强正则回溯门的大小显著小于最小强霍恩（Horn）回溯门（ConformantPlanning 中分别为 0.7% 与 8.8%），凸显正则回溯门的优势。
• 到紧致性的回溯门无法实现 FPT 归约，因为即使距离紧致性仅一步的程序仍保持完整的二阶 PH 复杂度，因此此类参数化无法用于 FPT 归约。