[论文解读] Backward stochastic Volterra integral equations with jumps in a general filtration

Alexandre Popier|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2020

Stochastic processes and financial applications参考文献 32被引用 4

一句话总结

该论文在一般滤链下建立了带跳的 I 型与 II 型倒向随机伏尔泰拉积分方程（BSVIEs）的 $L^p$-解的存在性、唯一性及时间正则性，扩展了以往仅限于布朗运动-泊松设定下的结果。该方法利用不动点论证与 BDG 型不等式，在仅要求滤链完全且右连续的最小假设下，证明了解的路径正则性与可积性，包括右连左极鞅与具一般补偿器的随机测度。

ABSTRACT

In this paper, we study backward stochastic Volterra integral equations introduced in [26, 45] and extend the existence, uniqueness or comparison results for general filtration as in [31] (not only Brownian-Poisson setting). We also consider Lp-data and explore the time regularity of the solution in the It{\\^o} setting, which is also new in this jump setting.

研究动机与目标

• 将倒向随机伏尔泰拉积分方程（BSVIEs）的解的存在性与唯一性结果，从布朗运动-泊松滤链设定推广至更一般的情形。
• 在一般滤链假设（完备且右连续）下，建立 I 型与 II 型带跳 BSVIEs 的 $L^p$-解理论。
• 分析在带跳的 Itô 框架下解过程 $Y$ 的时间正则性，推广连续情形下的已有结果。
• 将一般半鞅分量（包括右连左极鞅与具一般补偿器的随机测度）纳入 BSVIE 框架。

提出的方法

• 在适当的 $L^p$-空间中使用不动点论证，证明 I 型 BSVIEs 解四元组 $(Y, Z, U, M)$ 的存在性与唯一性。
• 应用 BDG 型不等式控制鞅项的二次变差，并推导 $Y$ 的路径正则性估计。
• 对由解构造的半鞅 $X_t(u)$ 应用 Itô 公式，导出涉及 $Y(t)$、$Z(t,s)$、$U(t,s,x)$ 与 $M(t,s)$ 的先验估计。
• 对滤链施加最小假设：仅需完备性与右连续性，允许一般半鞅分量 $B$、$X^ullet$、$ ilde{ u}^ atural$ 及鞅 $M$。
• 通过有界生成器 $f$ 与使用 Young 不等式处理漂移与扩散项，推导解分量的 $L^p$-估计。
• 采用 M-解概念以确保解满足鞅表示性质，这对推导路径正则性至关重要。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在一般滤链下建立带跳 BSVIEs 的 $L^p$-解的存在性与唯一性，而不限于布朗运动-泊松设定？
• RQ2 当滤链为一般形式并包含跳与半鞅分量时，$L^p$-设定下解 $Y$ 的时间正则性如何？
• RQ3 在无布朗运动或泊松过程的情形下，$Z$、$U$ 与 $M$ 分量如何影响 $Y$ 的正则性？
• RQ4 固定点方法能否适配处理带一般半鞅噪声与跳测度的 BSVIEs 的非马尔可夫、非-麦凯恩结构？
• RQ5 确保 $Y$ 时间路径正则性的精确 $L^p$-估计是什么？

主要发现

• 该论文在一般滤链下证明了 I 型 BSVIEs 的 $L^2$-解的存在性与唯一性，推广了以往要求布朗运动或泊松滤链的已有结果。
• 在生成器 $f$ 与终端条件 $ ilde{ u}^\natural$ 的温和假设下，建立了解 $Y$ 的 $L^p$-时间正则性，将路径正则性理论推广至跳设定。
• 解 $Y$ 属于空间 $D([0,T]; \mathbb{L}^p_{\mathbb{F}}(\Omega))$，即在 $f$ 与 $\Phi$ 的适当可积性与连续性条件下，其在 $L^p$ 中具有右连左极路径。
• 通过使用 BDG 与 Young 不等式，该论文推导出解分量 $Z$、$U$ 与 $M$ 的精确 $L^p$-估计，这对证明正则性至关重要。
• M-解概念确保了解满足鞅表示性质，从而可通过随机积分控制时间增量 $Y(t) - Y(t')$。
• 分析表明，解 $Y$ 几乎必然不一定是右连左极的，但其 $L^p$-路径是右连左极的，这对许多随机控制与 PDE 应用已足够。