[论文解读] Badly Approximable Numbers and the Growth Rate of the Inclusion Length of an Almost Periodic Function

Mikhail Anikushin|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 2被引用 3

一句话总结

本文利用维数理论中的技术，为拟周期几乎周期函数的包含长度增长速率建立了下界，将其与傅里叶指数的丢番图逼近性质联系起来。结果表明，对于逼近程度差的指数，该下界在渐近意义上与由同时丢番图逼近导出的上界一致，表明估计的紧致性。

ABSTRACT

We study the growth rate of the inclusion length of an almost periodic function. For a given a. p. function such growth rate depends on the algebraic structure of Fourier exponents, i. e. on how good they can be approximated by rational numbers. In additional, as appears from the definition, the inclusion length carries some information about the translation numbers (almost periods). Our result is a lower bound of the growth rate of the inclusion interval of a quasiperiodic function (theorem 3). Here we use methods from dimension theory. We do not assume anything about exponents, but rationally independence. This suggest an idea that this lower bound can be reached (in asymptotic sense) for some "bad" exponents. Koichiro Naito in his papers on estimates of the fractal dimension of almost periodic attractors proved an upper bound of the inclusion length for some class of a.p. functions, using simultaneous Diophantine approximations. For the special case of badly approximable exponents we can see that the both estimates (if we consider them as asymptotic estimates) are coincide (see theorem 4). We hope that ideas and results presented in this paper can be useful not only to understand the nature of badly approximable numbers and almost periods, but also for more detailed understanding of the structure of almost periodic attractors.

研究动机与目标

• 基于其傅里叶指数的逼近性质，分析几乎周期函数包含长度的增长速率。
• 通过指数的代数结构，将包含长度与平移数（几乎周期）联系起来。
• 在仅假设指数有理独立的最小条件下，为包含长度增长速率建立下界。
• 研究该下界在‘逼近程度差’指数情况下是否渐近紧致。
• 在几乎周期吸引子的背景下，弥合动力系统与数论的研究结果。

提出的方法

• 使用维数理论的方法分析几乎周期函数的包含长度。
• 应用丢番图逼近的工具，特别关注逼近程度差的数。
• 考虑傅里叶指数的代数结构及其有理逼近质量。
• 在仅假设指数有理独立（无其他特定算术结构）的前提下，推导出包含长度增长速率的下界。
• 将推导出的下界与 Koichiro Naito 之前关于几乎周期吸引子分形维数的工作所得上界进行比较。
• 采用渐近分析，在逼近程度差指数的特殊情况下比较下界与上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 几乎周期函数的包含长度增长速率如何依赖于其傅里叶指数的丢番图性质？
• RQ2 仅在指数有理独立的条件下，能否为包含长度增长速率建立非平凡的下界？
• RQ3 所推导的下界在逼近程度差指数类中是否渐近紧致？
• RQ4 包含长度和平移数（几乎周期）在多大程度上反映了傅里叶谱的算术结构？
• RQ5 能否利用数论与动力系统之间的相互作用，更好地理解几乎周期吸引子的结构？

主要发现

• 在仅假设傅里叶指数有理独立的前提下，为拟周期函数的包含长度增长速率建立了下界。
• 结果表明，该下界在逼近程度差指数类中渐近紧致，与先前关于吸引子分形维数工作的上界一致。
• 包含长度增长速率本质上与傅里叶指数有理逼近质量密切相关，尤其在逼近程度差的情况下。
• 结果表明，逼近程度差的指数代表了一个临界情况，此时包含长度增长速率达到可能的最小渐近速率。
• 通过指数的代数结构，确认了包含长度与平移数之间的联系。
• 研究结果支持了指数的数论性质决定几乎周期函数的几何与动力复杂性的观点。