[论文解读] Badly approximable systems of affine forms, fractals, and Schmidt games

Manfred Einsiedler, Jimmy Tseng|ArXiv.org|Dec 13, 2009

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 13被引用 7

一句话总结

本文证明了Kleinbock的猜想，即当向量固定或矩阵固定时，坏逼近的仿射形式系统集合在Schmidt博弈的意义下是获胜的。通过动力系统和单模格理论，作者证明这些集合在限制到一大类分形时仍保持获胜性，证实了其在各种几何约束下的鲁棒性及满Hausdorff维数。

ABSTRACT

A badly approximable system of affine forms is determined by a matrix and a vector. We show Kleinbock's conjecture for badly approximable systems of affine forms: for any fixed vector, the set of badly approximable systems of affine forms is winning (in the sense of Schmidt games) even when restricted to a fractal (from a certain large class of fractals). In addition, we consider fixing the matrix instead of the vector where an analog statement holds.

研究动机与目标

• 解决Kleinbock的猜想，即对于任意固定的向量，坏逼近的仿射形式系统集合是获胜的。
• 将获胜性质扩展到一大类分形，表明其在全空间之外仍具鲁棒性。
• 在矩阵固定而非向量固定的情况下建立类似的获胜性质，以解决一类新的非齐次丢番图逼近问题。
• 研究奇异系统下无限坏逼近矩阵集合的结构。
• 探讨在具有绝对衰减测度的分形子集上，强获胜性和广义获胜性的可能性。

提出的方法

• 利用Schmidt博弈理论，证明由丢番图逼近条件定义的集合的获胜性质。
• 应用单模格空间上的动力系统，特别是与一参数对角流 $g_t$ 的共轭。
• 采用 $\eta$-衰减测度和Marstrand截面定理来分析与分形的交集。
• 利用 $L_A(\mathbf{b})$ 的结构及其在格点上的作用，控制流变换下最小向量的大小。
• 应用强获胜和拟对称不变性的概念，以加强获胜结果。
• 分析格点点在 $g_T$-作用下的行为，并基于范数估计使用反证法验证博弈策略。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于每个固定的 $\mathbf{b} \in \mathbb{R}^m$，集合 $\mathbf{Bad}^\mathbf{b}(m,n)$ 是否是获胜的？
• RQ2 当 $\mathbf{Bad}^\mathbf{b}(m,n)$ 限制到 $\mathbb{R}^{m+n}$ 的分形子集时，其获胜性质是否得以保持？
• RQ3 对于每个固定的矩阵 $A \in M_{m,n}(\mathbb{R})$，集合 $\mathbf{Bad}_A(m,n)$ 是否是获胜的？
• RQ4 对于奇异矩阵 $A$，无限坏逼近矩阵集合 $\mathbf{Bad}^\infty_A(m,n)$ 是否具有强获胜性质？
• RQ5 获胜性质能否推广到支持绝对 $\eta$-衰减测度的子集 $K \subset \widetilde{M}_{m,n}(\mathbb{R})$ 上？

主要发现

• 对于每个固定的 $\mathbf{b} \in \mathbb{R}^m$，集合 $\mathbf{Bad}^\mathbf{b}(m,n)$ 是获胜的，从而证实了Kleinbock的猜想。
• 当限制到支持绝对 $\eta$-衰减测度的任意分形子集时，$\mathbf{Bad}^\mathbf{b}(m,n)$ 的获胜性质依然保持。
• 对于每个固定的矩阵 $A \in M_{m,n}(\mathbb{R})$，集合 $\mathbf{Bad}_A(m,n)$ 是获胜的，将先前结果推广到一般情形。
• 证明了无限坏逼近向量集合 $\mathbf{Bad}^\infty_A(m,n)$ 对于奇异矩阵 $A$ 是获胜的。
• $\mathbf{Bad}^\mathbf{b}(m,n)$ 和 $\mathbf{Bad}_A(m,n)$ 的获胜集合也是强获胜的，这是一种更强的性质，且在拟对称映射下保持不变。
• 结果表明 $\mathbf{Bad}(m,n)$ 具有满Hausdorff维数，并且在分形上是获胜的，支持了关于 $\eta$-衰减测度的更广泛猜想。