[论文解读] Banach Spaces Of The Type Of Tsirelson

Spiros A. Argyros, Irene Deliyanni|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 1992

Advanced Banach Space Theory参考文献 1被引用 15

一句话总结

本文引入了一类由紧致族 $ \frak M $ 的有限子集族与参数 $ \theta \in (0,1) $ 索引的 Tsirelson 型 Banach 空间 $ T_{\frak M}^\theta $。研究证明：当 $ \frak M $ 的 Cantor-Bendixson 指数大于 $ n $ 且 $ \theta > 1/n $ 时，该空间是自反的；当指数为有限值时，$ T_{\frak M}^\theta $ 包含 $ \ell^p $ 的同构像；当指数超过 $ \omega $ 时，其不包含 $ \ell^p $ 的同构像。特别地，当 $ \frak M $ 为所有大小不超过 $ n $ 的子集族时，$ T_{\frak M}^\theta $ 同构于 $ \ell^p $，其中 $ 1/p + \log_n(1/\theta) = 1 $。

ABSTRACT

To any pair ( M , theta ) where M is a family of finite subsets of N compact in the pointwise topology, and 0{1/n} then T_M^theta is reflexive. Moreover, if the Cantor-Bendixson index of M is greater than omega then T_M^theta does not contain any l^p, while if the Cantor-Bendixson index of M is finite thenT_M^theta contains some l^p or c_o . In particular, if M ={ A subset N : |A| leq n } and {1/n}

研究动机与目标

• 使用 $ \mathbb{N} $ 的紧致族 $ \frak M $ 与参数 $ \theta \in (0,1) $ 对 Tsirelson 空间进行推广。
• 根据 $ \frak M $ 的 Cantor-Bendixson 指数与 $ \theta $ 的取值，刻画所得 Banach 空间 $ T_{\frak M}^\theta $ 的自反性。
• 根据 $ \frak M $ 的拓扑复杂度，研究 $ T_{\frak M}^\theta $ 是否包含 $ \ell^p $ 或 $ c_0 $ 的同构像。
• 在 $ \frak M $ 为所有大小不超过 $ n $ 的子集族时，建立 $ T_{\frak M}^\theta $ 与 $ \ell^p $ 的精确同构关系，其中 $ \theta > 1/n $。
• 在特定条件下，提供 $ T_{\frak M}^\theta $ 上隐式范数与 $ \ell^p $-范数等价性的构造性证明。

提出的方法

• 将空间 $ T_{\frak M}^\theta $ 定义为 $ c_{00} $ 在满足隐式方程 $ \|x\| = \max\{ \|x\|_\infty, \theta \sup \sum_{i=1}^n \|E_i x\| \} $ 的范数 $ \|\cdot\| $ 下的完备化，其中上确界取遍所有 $ \frak M $-可容许族 $ (E_1, \dots, E_n) $，即连续的有限子集族。
• 若存在 $ A = \{m_1, \dots, m_n\} \in \frak M $，使得 $ m_1 \leq E_1 < m_2 \leq E_2 < \cdots < m_n \leq E_n $，则称 $ (E_1, \dots, E_n) $ 为 $ \frak M $-可容许族。
• 递归定义 $ [-1,1]^{(\mathbb{N})} $ 的子集列 $ \{K_s\}_{s=0}^\infty $ 以表示对偶单位球，其中 $ K_0 = \{ \pm e_n \} $，且 $ K_{s+1} = K_s \cup \{ \theta (f_1 + \cdots + f_d) \mid d \leq n, f_i \text{ 为连续且属于 } K_s \} $。
• 证明范数 $ \|x\| $ 等于 $ \sup_{f \in \bigcup_{s=1}^\infty K_s} |\langle f, x \rangle| $，从而可利用对偶性与函数值的归纳估计。
• 通过 Cantor-Bendixson 指数的条件证明自反性：若 $ \text{ind}(\mathcal{X}(\frak M)) \geq n+1 $ 且 $ \theta > 1/n $，则 $ T_{\frak M}^\theta $ 是自反的。
• 通过证明 $ \|x\| \leq \|x\|_p $ 与 $ \|x\| \geq c \|x\|_p $（$ c > 0 $）建立与 $ \ell^p $ 的同构关系，方法为对函数列进行归纳估计，并将向量分解为 $ x' $ 与 $ x'' $ 两部分。

实验结果

研究问题

• RQ1 何种条件下，紧致族 $ \frak M $ 的有限子集族与参数 $ \theta \in (0,1) $ 可保证对应的 Tsirelson 型空间 $ T_{\frak M}^\theta $ 是自反的？
• RQ2 在何种条件下，$ T_{\frak M}^\theta $ 包含某个 $ 1 < p < \infty $ 的 $ \ell^p $ 同构像，或 $ c_0 $ 的同构像？
• RQ3 在何种条件下，$ T_{\frak M}^\theta $ 不包含任何 $ \ell^p $ 的同构像，且这与 $ \frak M $ 的 Cantor-Bendixson 指数有何关联？
• RQ4 当 $ \frak M $ 为所有大小不超过 $ n $ 的子集族时，$ \theta $、$ \frak M $ 中集合的大小 $ n $ 与 $ T_{\frak M}^\theta $ 的 $ \ell^p $-同构类型之间存在何种精确关系？
• RQ5 在特定参数约束下，如何证明 $ T_{\frak M}^\theta $ 上的隐式范数与 $ \ell^p $-范数等价？

主要发现

• 若 $ \mathcal{X}(\frak M) $ 的 Cantor-Bendixson 指数至少为 $ n+1 $ 且 $ \theta > 1/n $，则 $ T_{\frak M}^\theta $ 是自反的。
• 若 $ \mathcal{X}(\frak M) $ 的 Cantor-Bendixson 指数超过 $ \omega $，则 $ T_{\frak M}^\theta $ 不包含任何 $ \ell^p $（$ 1 \leq p \leq \infty $）的同构像。
• 若 $ \mathcal{X}(\frak M) $ 的 Cantor-Bendixson 指数为有限值，则 $ T_{\frak M}^\theta $ 包含某个 $ 1 < p < \infty $ 的 $ \ell^p $ 同构像，或 $ c_0 $ 的同构像。
• 当 $ \frak M = \{ A \subset \mathbb{N} : |A| \leq n \} $ 且 $ \theta > 1/n $ 时，空间 $ T_{\frak M}^\theta $ 同构于 $ \ell^p $，其中 $ 1/p + \log_n(1/\theta) = 1 $。
• 在 $ c_{00} $ 上定义的范数 $ \|x\| = \max\{ \|x\|_\infty, \frac{1}{n^{1/q}} \sup \sum_{i=1}^d \|E_i x\| \} $（$ d \leq n $）与 $ \ell^p $-范数等价，其中 $ 1/p + 1/q = 1 $。