[论文解读] Basic loci in Shimura varieties of Coxeter type

Ulrich Goertz, Xuhua He|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2013

Advanced Algebra and Geometry参考文献 17被引用 19

一句话总结

本文对Coxeter型的Shimura簇进行分类，其中基本局部分解为与Coxeter元相关的Deligne-Lusztig簇，证明此类情形展现出特别优美的几何与分层性质。关键贡献在于以统一方式描述基本局部为经典Deligne-Lusztig集的并集，其分层由内形式的Bruhat-Tits建筑控制，从而导致分层的光滑与正规闭包。

ABSTRACT

This paper is a contribution to the general problem of giving an explicit description of the basic locus in the reduction modulo $p$ of Shimura varieties. Motivated by \cite{Vollaard-Wedhorn} and \cite{Rapoport-Terstiege-Wilson}, we classify the cases where the basic locus is (in a natural way) the union of classical Deligne-Lusztig sets associated to Coxeter elements. We show that if this is satisfied, then the Newton strata and Ekedahl-Oort strata have many nice properties.

研究动机与目标

• 提供PEL型Shimura簇模p约化中基本局部的显式几何描述。
• 确定基本局部分解为与Coxeter元相关的经典Deligne-Lusztig簇的条件。
• 建立在Coxeter型情形下，Newton分层与Ekedahl-Oort分层具有有利几何性质（包括光滑与正规闭包）的结论。
• 通过仿射Deligne-Lusztig簇与Bruhat-Tits建筑，统一并推广此前关于GU(1,n−1)与Drinfeld半空间等情形下基本局部的研究成果。

提出的方法

• 作者通过仿射Deligne-Lusztig簇 $X(μ,b)_P$ 分析基本局部，其定义为满足 $\sigma$-共轭条件的 $G(L)/P$ 的商，涉及 $\sigma$-共轭类集合 $B(G,\mu)$。
• 他们利用Dieudonné理论将Rapoport-Zink空间的点与 $L$-向量空间中的格联系起来，将基本局部识别为仿射Deligne-Lusztig簇的并集。
• 基本局部的分层通过内形式 $\mathbb{J}_\tau$ 的Bruhat-Tits建筑描述，索引集依情形对应于建筑中的顶点或边。
• 作者证明了Deligne-Lusztig簇 $X_Q(w')$ 的闭包是光滑且正规的，利用Brion与Polo关于边界分量与维数界的结果。
• 他们验证了包含关系 $\overline{Y(w)} \subseteq \overline{X_Q(w')} \cup X_Q(\mathrm{id})$ 为等式，当且仅当 $w_0 w'$ 是某个特定双陪集中的最长元素，此条件在所有Coxeter型情形下成立。
• 分析了具体例子，包括 $GU(1,2m)$、$GU(1,2m-1)$ 的分裂与非分裂形式，以及 $GU(1,3)$ 的非标准水平结构，验证了通用框架的正确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，PEL型Shimura簇中的基本局部是与Coxeter元相关的经典Deligne-Lusztig集的并集？
• RQ2 在这些Coxeter型情形下，Newton分层与Ekedahl-Oort分层的几何性质如何表现？
• RQ3 内形式的Bruhat-Tits建筑在参数化基本局部分层中起什么作用？
• RQ4 何时基本局部中Deligne-Lusztig簇的闭包保持光滑或正规？
• RQ5 基本局部中分层的维数与索引集如何与Dynkin型及Frobenius对仿射Weyl群的作用相关联？

主要发现

• 在Coxeter型情形下，基本局部是Ekedahl-Oort分层的并集，每一Ekedahl-Oort分层本身是与Coxeter元相关的经典Deligne-Lusztig集的并集。
• 在 $p$ 处分歧的 $GU(1,2m)$ 情形下，基本局部有 $m+1$ 个EO分层，维数从 $0$ 到 $m$，由类型为 $2i$ 的顶点格索引。
• 在 $GU(1,2m-1)$ 的分裂酉形式情形下，有 $m+2$ 个EO分层：$m$ 个维数为 $0$ 至 $m-1$，另两个维数为 $m$，后者对应于共轭作用下的单个轨道。
• 在 $GU(1,2m-1)$ 的非分裂情形下，基本EO分层与顶点格的类型一一对应，分层索引集即为 $\mathbb{J}_\tau$ 的Bruhat-Tits建筑的顶点集。
• 在 $GU(1,3)$ 的非标准水平结构情形下，基本局部包含6个EO分层：1个维数为0，1个维数为1，2个维数为2，2个维数为3，其中最高维分层对应于非Coxeter元 $s_1s_0s_1$ 与 $s_1s_2s_1$。
• 每个Deligne-Lusztig簇 $X_Q(w')$ 的闭包均为光滑且正规，且 $\overline{Y(w)} = \overline{X_Q(w')} \cup X_Q(\mathrm{id})$ 成立当且仅当 $w_0 w'$ 是相关双陪集中最长元素，此结论在所有Coxeter型情形下均已验证。