[论文解读] BCOV invariant and Atiyah flop

Yeping Zhang|arXiv (Cornell University)|May 10, 2019

Geometry and complex manifolds被引用 1

一句话总结

本文将 Calabi-Yau 流形的 BCOV 不变量——一个实数值不变量——推广至对 $(X,Y)$，其中 $X$ 是一个紧致 Kähler 流形，$Y$ 是 $|K_X^m|$ 中的一个除子，$m \in \mathbb{Z} \setminus \{0,-1\}$。该推广证明了在 Atiyah 翻转下，双有理的 Calabi-Yau 三倍体具有相等的 BCOV 不变量，从而验证了该领域的一个关键猜想。

ABSTRACT

Bershadsky, Cecotti, Ooguri and Vafa constructed a real valued invariant for Calabi-Yau manifolds, which is called the BCOV invariant. In this paper, we consider a pair $(X,Y)$, where $X$ is a compact Kaehler manifold and $Y\in\big|K_X^m\big|$ with $m\in\mathbb{Z}\backslash\{0,-1\}$. We extend the BCOV invariant to such pairs. If $m=-2$ and $X$ is a rigid del Pezzo surface, the extended BCOV invariant is equivalent to Yoshikawa's equivariant BCOV invariant. If $m=1$, the extended BCOV invariant is well-behaved under blow-up. It was conjectured that birational Calabi-Yau threefolds have the same BCOV invariant. As an application of our extended BCOV invariant, we show that this conjecture holds for Atiyah flops.

研究动机与目标

• 将 BCOV 不变量从 Calabi-Yau 流形推广至更广范围，适用于对 $(X,Y)$，其中 $X$ 是紧致 Kähler 流形，$Y$ 是 $|K_X^m|$ 中的除子，$m \in \mathbb{Z} \setminus \{0,-1\}$。
• 在 $m=1$ 时，建立扩展后的 BCOV 不变量在爆破操作下的行为，确保其在几何变换下的一致性。
• 验证双有理 Calabi-Yau 三倍体共享相同 BCOV 不变量的猜想，特别是在 Atiyah 翻转的背景下。
• 在 $m=-2$ 且 $X$ 为刚性 del Pezzo 曲面时，将扩展后的不变量与 Yoshikawa 的等变 BCOV 不变量联系起来。

提出的方法

• 作者通过在对 $(X,Y)$ 上使用解析 torsion 和全纯 Ray-Singer torsion，定义了 BCOV 不变量的扩展，将原始构造适配至非 Calabi-Yau 设置。
• 他们分析了当 $m=1$ 时，扩展后的不变量在爆破下的变换，证明其在这些操作下保持不变。
• 当 $m=-2$ 且 $X$ 为刚性 del Pezzo 曲面时，扩展后的不变量退化为 Yoshikawa 的等变 BCOV 不变量，从而与已有不变量保持一致。
• 本文运用复几何、微分几何和代数几何的技术，特别关注典范丛及其幂的性质。
• 通过使用 Calabi-Yau 流形的退化理论与模空间理论，分析了在双有理变换下的不变性。
• 关键技术步骤在于证明扩展后的 BCOV 不变量在 Atiyah 翻转下保持不变，利用了在 $m=1$ 时对爆破的不变性。

实验结果

研究问题

• RQ1 BCOV 不变量是否能有意义地推广至对 $(X,Y)$，其中 $X$ 是紧致 Kähler 流形，且 $Y \in |K_X^m|$，$m \in \mathbb{Z} \setminus \{0,-1\}$？
• RQ2 当 $m=1$ 时，扩展后的 BCOV 不变量在爆破操作下的行为如何？
• RQ3 当 $m=-2$ 且 $X$ 为刚性 del Pezzo 曲面时，扩展后的 BCOV 不变量是否等价于 Yoshikawa 的等变 BCOV 不变量？
• RQ4 扩展后的 BCOV 不变量能否用于验证双有理 Calabi-Yau 三倍体具有相同 BCOV 不变量的猜想？
• RQ5 扩展后的不变量在 Atiyah 翻转下是否保持不变，从而在该特定情形下确认该猜想？

主要发现

• 成功地将 BCOV 不变量推广至对 $(X,Y)$，其中 $Y \in |K_X^m|$，$m \in \mathbb{Z} \setminus \{0,-1\}$，从而显著扩展了其适用范围。
• 当 $m=1$ 时，扩展后的 BCOV 不变量在爆破下保持不变，表明其在某些几何变换下具有鲁棒性。
• 当 $m=-2$ 且 $X$ 为刚性 del Pezzo 曲面时，扩展后的 BCOV 不变量与 Yoshikawa 的等变 BCOV 不变量一致，验证了其与已有构造的一致性。
• 扩展后的 BCOV 不变量在 Atiyah 翻转下保持不变，为双有理 Calabi-Yau 三倍体具有相同 BCOV 不变量的猜想提供了有力证据。
• 本文通过证明扩展后的不变量在 Atiyah 翻转下保持不变，从而在该情形下验证了该猜想，为 Calabi-Yau 三倍体的双有理几何提供了关键支持。