[论文解读] Better Approximation Algorithms for Maximum Asymmetric Traveling Salesman and Shortest Superstring

Katarzyna Paluch|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2014

Algorithms and Data Compression参考文献 24被引用 17

一句话总结

本文提出了一种新颖的组合 $\frac{3}{4}$-近似算法，用于最大有向旅行商问题（Max ATSP）的求解，采用了一种涉及半边、匹配和多图中边着色的新技术，该多图由两个环覆盖导出。该方法改进了 Max ATSP 的最佳已知近似比，并为最短超串问题（SSP）实现了 $2\frac{11}{30} \approx 2.3667$-近似，优于此前的 $2\frac{11}{23} \approx 2.4782$。

ABSTRACT

In the maximum asymmetric traveling salesman problem (Max ATSP) we are given a complete directed graph with nonnegative weights on the edges and we wish to compute a traveling salesman tour of maximum weight. In this paper we give a fast combinatorial $\frac 34$-approximation algorithm for Max ATSP. It is based on a novel use of {\it half-edges}, matchings and a new method of edge coloring. (A {\it half-edge} of edge $(u,v)$ is informally speaking "either a head or a tail of $(u,v)$".) The current best approximation algorithms for Max ATSP, achieving the approximation guarantee of $\frac 23$, are due to Kaplan, Lewenstein, Shafrir and Sviridenko and Elbassioni, Paluch, van Zuylen. Using a recent result by Mucha, which states that an $α$-approximation algorithm for Max ATSP implies a $(2+\frac{11(1-α)}{9-2α})$-approximation algorithm for the shortest superstring problem (SSP), we obtain also a $(2 \frac{11}{30} \approx 2,3667)$-approximation algorithm for SSP, beating the previously best known (having approximation factor equal to $2 \frac{11}{23} \approx 2,4782$.)

研究动机与目标

• 开发最大有向旅行商问题（Max ATSP）的更好近似算法，该问题为 APX-难问题，此前的最佳近似比为 $\frac{2}{3}$。
• 通过消除环覆盖中的 2-环和 3-环来克服现有算法的局限性，这些环会降低近似性能。
• 建立一种新方法，通过两个环覆盖（一个最大权值，一个松弛）构造多图，以支持边着色并实现路径分解。
• 利用改进的 Max ATSP 近似算法，推导出对最短超串问题（SSP）的更好近似，SSP 是 DNA 测序和数据压缩中的关键问题。
• 提供一种替代线性规划（LP）方法的组合方法，提升效率与简洁性，同时改善近似保证。

提出的方法

• 使用最大权匹配计算完全有向图的最大权环覆盖 $C_{\text{max}}$，作为最优巡回权重的下界。
• 通过使用半边（表示边的头或尾）构造一个避免 $C_{\text{max}}$ 中 2-环和 3-环的松弛环覆盖 $C_1$，确保 $w(C_1) \geq \text{OPT}$。
• 构建一个由 $C_{\text{max}}$ 的一个副本和 $C_1$ 的两个副本组成的多图 $G_1$，使得每条边最多出现三次，总权重至少为 $3\cdot\text{OPT}$。
• 应用一种新颖的四色边着色方案，将 $G_1$ 划分为四个集合 $Z_1, \dots, Z_4$，每个集合形成顶点不相交的路径，确保其中一个集合的权重至少为 $\frac{3}{4}\cdot\text{OPT}$。
• 采用谨慎的着色策略处理三角形和 2-环，包括动态颜色替换和冲突避免，以防止出现单色环。
• 通过在必要时在 $C_1$ 和另一个环覆盖 $C_2$ 之间交换边和半边，确保着色过程避免出现问题配置（例如，一个顶点有四条出边）。

实验结果

研究问题

• RQ1 使用组合方法，最大有向旅行商问题（Max ATSP）可达到的最佳近似比是多少？
• RQ2 如何有效消除或绕过最大权环覆盖中的 2-环和 3-环，以改善近似保证？
• RQ3 能否通过边着色将由两个环覆盖（一个标准，一个松弛）构造的多图分解为四个路径集合，从而提取出高权值的旅行商巡回？
• RQ4 Max ATSP 的 $\frac{3}{4}$-近似是否意味着对最短超串问题（SSP）的近似优于以往已知结果？
• RQ5 能否利用半边和一种新颖的边着色技术，实现一种组合的、非 LP 基于的算法，以提升 Max ATSP 及相关问题的性能？

主要发现

• 本文提出了一种组合 $\frac{3}{4}$-近似算法用于 Max ATSP，优于此前已知的最佳比 $\frac{2}{3}$。
• 通过使用带半边的松弛环覆盖，以及从两个环覆盖（一个标准，一个松弛）构造多图，该算法确保四个着色路径集合中的一个权重至少为最优巡回权重的 $\frac{3}{4}$。
• 该方法通过一种新颖的着色与边替换策略，成功避免了最大权环覆盖中 2-环和 3-环导致的性能下降。
• 利用 Mucha 的结果，该算法为最短超串问题（SSP）提供了 $2\frac{11}{30} \approx 2.3667$-近似，优于此前的 $2\frac{11}{23} \approx 2.4782$。
• 该算法完全为组合方法，避免使用线性规划，因此比以往基于 LP 的方法更高效且在概念上更简洁。
• 该方法在存在三角形和 2-环的情况下依然稳健，如通过动态颜色替换和冲突解决机制在边着色过程中所展示的。