[论文解读] Beyond matroids: Secretary Problem and Prophet Inequality with general constraints

Aviad Rubinstein|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 2016

Optimization and Search Problems参考文献 12被引用 13

一句话总结

该论文为具有任意向下封闭可行性约束的秘书问题与先知不等式问题提出了 $O(\log n)$-竞争性算法，对于一般非负值情形，竞争力为 $O(\log n \cdot \log r)$，其中 $r$ 为最大可行集合的大小。该方法利用动态势函数并借助预言机访问，在缺乏如拟阵性质等结构保证的情况下，实现了近似最优性能。

ABSTRACT

We study generalizations of the "Prophet Inequality" and "Secretary Problem", where the algorithm is restricted to an arbitrary downward-closed set system. For {0,1}-values, we give O(log n)-competitive algorithms for both problems. This is close to the Ω(log n / loglog n) lower bound due to Babaioff, Immorlica, and Kleinberg. For general values, our results translate to O(log n log r)-competitive algorithms, where r is the cardinality of the largest feasible set. This resolves (up to the O(log r loglog n) factors) an open question posed to us by Bobby Kleinberg.

研究动机与目标

• 解决在任意向下封闭可行性约束下，秘书问题与先知不等式问题的已知下界与上界之间的差距。
• 将结果扩展至拟阵结构之外，此前此类限制使秘书问题的竞争比被限制在 $O(\log \log r)$。
• 为一般非负项目价值提供紧致的竞争比，解决鲍比·克莱因伯格提出的一个开放问题。
• 在假设可访问需求类或条件概率预言机的前提下，分析任意约束族下的算法计算可行性。
• 探索当约束非单调时竞争力的极限，为这些情形建立紧致界。

提出的方法

• 为先知不等式设计一种动态势函数，在执行过程中当进展停滞时自适应调整，从而实现改进的竞争性分析。
• 将一般非负值情形约化为 $\{0,1\}$-值情形，引入 $O(\log r)$ 的乘法损失，其中 $r$ 为最大可行集合的大小。
• 在秘书问题算法中使用类需求预言机，以评估在约束下当前选择的可行扩展。
• 在先知设置中使用条件概率查询，以估计在给定过去结果和选择的情况下实现目标值 $\tau$ 的可能性。
• 通过动态更新的势函数论证，即使在约束缺乏单调性或拟阵结构时，也能保持竞争力。
• 使用如哈达玛码等组合构造方法分析最坏情况实例，推导出竞争力比的下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 当可行性约束为任意向下封闭族时，秘书问题的最佳可能竞争力比是多少？
• RQ2 在一般向下封闭约束下，先知不等式能否以常数或多项对数竞争力求解？
• RQ3 当项目价值为一般非负实数时，竞争力比如何随最大可行集合大小 $r$ 变化？
• RQ4 当可行性约束甚至不满足向下封闭性时，这些问题的竞争力比是多少？
• RQ5 动态势函数能否用于在无拟阵或拟拟阵结构的情况下，提升在线选择问题的竞争力？

主要发现

• 当所有项目价值属于 $\{0,1\}$ 时，该论文在向下封闭的先知问题与向下封闭的秘书问题中实现了 $O(\log n)$-竞争力比。
• 对于一般非负值，竞争力比为 $O(\log n \cdot \log r)$，其中 $r$ 为最大可行集合的基数，解决了鲍比·克莱因伯格提出的一个开放问题。
• 该 $O(\log n)$ 上界接近巴巴伊奥夫、伊莫里利卡与克莱因伯格建立的 $\Omega(\log n / \log \log n)$ 下界，表明其近乎最优。
• 对于非单调可行性约束，先知问题的竞争力比为 $\Theta(n)$，而秘书问题的竞争力比至少为 $\Omega(n / \log^* n)$，揭示了其内在局限性。
• 在假设可访问类需求预言机与条件概率预言机的前提下，算法具有计算高效性，这些假设在许多场景中是合理的。
• 动态势函数技术是一种新颖的分析工具，可能推广至其他在线优化问题，超越本研究的范围。