[论文解读] Bi-Lagrangian structures and Teichmüller theory

Brice Loustau, Andrew Sanders|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2017

Geometric and Algebraic Topology参考文献 24被引用 4

一句话总结

本文通过证明实解析凯勒流形的复化自然携带复双拉格朗日结构，建立了双拉格朗日（伪凯勒）几何与汤姆森理论之间的深层联系。该框架被应用于曲面几何结构的模空间，将汤姆森理论中的已知结果——如魏尔-彼得森度量和汤姆森空间的仿射结构——作为微分几何工具的形式推论得出。

ABSTRACT

In this paper, we review or introduce several differential structures on manifolds in the general setting of real and complex differential geometry, and apply this study to Teichmüller theory. We focus on bi-Lagrangian i.e. para-Kähler structures, which consist of a symplectic form and a pair of transverse Lagrangian foliations. We prove in particular that the complexification of a real-analytic Kähler manifold has a natural complex bi-Lagrangian structure. We then specialize to moduli spaces of geometric structures on closed surfaces, and show that old and new geometric features of these spaces are formal consequences of the general theory. We also gain clarity on several well-known results of Teichmüller theory by deriving them from pure differential geometric machinery.

研究动机与目标

• 通过双拉格朗日（伪凯勒）几何的框架，统一并阐明汤姆森理论中的几何结构。
• 确立实解析凯勒流形的复化自然具有复双拉格朗日结构。
• 通过辛几何与伪复几何的视角，重新诠释汤姆森理论中的经典结果，如魏尔-彼得森度量和仿射结构。
• 引入并发展复双拉格朗日结构的理论，包括复博特联络与双复凯勒结构。
• 探索凯勒流形复化中超赫尔米特结构的存在性与性质，并与费克斯-卡莱丁的超凯勒结构进行对比。

提出的方法

• 通过辛形式的自然延拓与拉格朗日叶状结构，在实解析凯勒流形的复化上构造双拉格朗日结构。
• 通过适配复拉格朗日叶状结构的博特联络定义复双拉格朗日联络，并将其扩展为完整的辛联络。
• 利用双复数刻画复双拉格朗日几何的代数结构，从而定义双复凯勒结构。
• 通过拉格朗日叶状结构的垂直平行移动，显式计算 $\mathbb{C}P^1$ 复化上的几乎超赫尔米特结构。
• 通过在 $N^c = \mathbb{C}P^1 \times \overline{\mathbb{C}P^1}$ 上的微分几何计算，推导出度量 $g$、复结构 $I, J, K$ 以及辛形式 $\omega_I, \omega_J, \omega_K$。
• 将所得的超赫尔米特结构与费克斯-卡莱丁的超凯勒结构进行比较，表明 $\omega_J$ 不闭合，因此该结构不可积。

实验结果

研究问题

• RQ1 实解析凯勒流形的复化是否自然携带复双拉格朗日结构？
• RQ2 汤姆森理论中的经典结果——如魏尔-彼得森度量和仿射结构——能否从双拉格朗日几何中推导而出？
• RQ3 凯勒流形复化上的超赫尔米特结构的本质是什么？与费克斯-卡莱丁的超凯勒结构相比有何异同？
• RQ4 复双拉格朗日联络与双复凯勒结构在复设置下如何推广实几何与伪复几何？
• RQ5 在 $\mathbb{C}P^1 \times \overline{\mathbb{C}P^1}$ 上的几乎超赫尔米特结构是否可积？$\omega_J$ 的非闭合性起何作用？

主要发现

• 实解析凯勒流形的复化自然携带复双拉格朗日结构，其辛形式与两个横截的拉格朗日叶状结构均源于实结构。
• 汤姆森空间上的魏尔-彼得森度量作为双拉格朗日联络及其在模空间上诱导的仿射结构的正式推论而出现。
• 复射影结构的形变空间 $\mathcal{CP}(S)$ 通过底层模空间的双拉格朗日几何，自然具有仿射丛结构。
• 在 $\mathbb{C}P^1$ 复化中，沿垂直叶的平行移动被显式计算，其结果仅依赖于端点，并包含一个涉及 $1 + z_0 w_0$ 的全纯因子。
• 在 $N^c = \mathbb{C}P^1 \times \overline{\mathbb{C}P^1}$ 上的几乎超赫尔米特结构被显式构造，其中 $\omega_J$ 不闭合，表明不可积性，且勒维-奇维塔联络不保持 $J$。
• 所得的度量与复结构与费克斯-卡莱丁的超凯勒结构不同，因为 $\omega_J$ 不闭合，而 $\omega_I$ 与 $\omega_K$ 闭合，并满足 $\omega_0^c = \omega_I - i\omega_K$。