[论文解读] Locally homogeneous geometric manifolds

William M. Goldman|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 79被引用 26

一句话总结

本文通过发展映射和holonomy表示对曲面上的局部齐性几何结构进行分类，揭示了曲面群表示的形变空间继承了丰富的辛几何与泊松几何。关键贡献在于将这些形变空间识别为几何结构的模空间，其上赋予了$\mathrm{Mod}(\Sigma)$-不变的辛结构，并与测地线长度函数相关的哈密顿流相联系。

ABSTRACT

Motivated by Felix Klein's notion that geometry is governed by its group of symmetry transformations, Charles Ehresmann initiated the study of geometric structures on topological spaces locally modeled on a homogeneous space of a Lie group. These locally homogeneous spaces later formed the context of Thurston's 3-dimensional geometrization program. The basic problem is for a given topology S and a geometry X = G/H, to classify all the possible ways of introducing the local geometry of G/H into S. For example, a sphere admits no local Euclidean geometry: there is no metrically accurate Euclidean atlas of the earth. One develops a space whose points are equivalence classes of geometric structures on S, which itself exhibits a rich geometry and symmetries arising from the topological symmetries of S. In this talk I will survey several examples of the classification of locally homogeneous geometric structures on manifolds in low dimension, and how it leads to a general study of surface group representations. In particular geometric structures are a useful tool in understanding local and global properties of deformation spaces of representations of fundamental groups.

研究动机与目标

• 对给定拓扑曲面$Σ$上的所有$(G,X)$-结构进行分类，其中$X = G/H$为齐性空间。
• 理解此类几何结构等价类空间作为具有自然几何与动力学结构的形变空间。
• 研究映射类群$\mathrm{Mod}(\Sigma)$在这些形变空间上的作用及其对遍历性与对称性的影响。
• 将几何结构与 fundamental group $\pi_1(\Sigma)$ 到李群$G$的表示（特别是holonomy表示）联系起来。
• 探讨模空间${\rm Hom}(\pi_1(\Sigma), G)/G$的辛几何与泊松几何，及其与Teichmüller理论和曲面不变量的联系。

提出的方法

• 利用开发映射$\mathsf{dev}: \tilde{\Sigma} \to X$与holonomy表示$h: \pi_1(\Sigma) \to G$，全局编码$\Sigma$上的$(G,X)$-结构。
• 将形变空间$\mathsf{Def}^{(G,X)}(\Sigma)$构造为$\mathsf{Hom}(\pi_1(\Sigma), G)$关于$G$内共轭的商，用于参数化结构的等价类。
• 通过李代数上同调中的上积，将自然辛结构赋予形变空间，利用同构$T_\rho(\mathsf{Hom}/G) \cong Z^1(\Sigma, \mathfrak{g}_{\mathrm{Ad}\rho})$。
• 为函数$f_\alpha([\rho]) = f(\rho(\alpha))$（其中$f: G \to \mathbb{R}$为$G$-不变函数）定义哈密顿向量场，从而导出沿曲线的扭转变换流。
• 通过曲面$\Sigma$上曲线的定向相交数来分析此类函数的泊松括号，将拓扑与几何相联系。
• 证明在半单表示处的形变空间的芽局部同构于由上积$[\cdot, \cdot]_*$定义的二次锥面。

实验结果

研究问题

• RQ1 在给定曲面$\Sigma$上可以实现多少个不等价的$(G,X)$-结构？
• RQ2 在$\Sigma$上的$(G,X)$-结构形变空间中，自然出现哪些几何与动力学结构？
• RQ3 映射类群$\mathsf{Mod}(\Sigma)$如何作用于形变空间？该作用的遍历性与适当性性质如何？
• RQ4 ${\mathsf{Hom}(\pi_1(\Sigma), G)/G}$的辛几何与$\Sigma$的几何不变量（如测地线长度）之间有何关系？
• RQ5 ${\mathsf{Hom}(\pi_1(\Sigma), G)/G}$上迹函数的泊松括号如何反映$\Sigma$上曲线的拓扑相交？

主要发现

• 曲面$\Sigma$上$(G,X)$-结构的形变空间自然同构于$\mathsf{Hom}(\pi_1(\Sigma), G)/G$，其通过李代数上同调中的上积继承了辛结构。
• 在半单表示处，形变空间的芽局部同构于由上积$[\cdot, \cdot]_*$导出的齐次二次方程定义的二次锥面。
• 与测地线长度函数$\ell_\alpha$相关的哈密顿向量场对应于在简单闭曲线$\alpha$上支持的广义扭转变换流，推广了Fenchel-Nielsen扭转变换流。
• 当$G = \mathsf{SL}(2,\mathbb{C})$时，Minsky发现$\mathsf{Hom}(\mathbb{F}_n, G)/G$中存在严格大于Schottky轨迹的开子集，使得$\mathsf{Out}(\mathbb{F}_n)$的作用是适当的。
• 当$G$为紧致时，$\mathsf{Mod}(\Sigma)$在形变空间每个连通分支上的作用是遍历的，并保持辛测度不变。
• 由迹生成的${\mathsf{Hom}(\pi_1(\Sigma), \mathsf{GL}(n,\mathbb{R}))/\mathsf{GL}(n,\mathbb{R})}$上的函数的李代数同构于字符串拓扑李代数，其括号范数等于几何相交数$i(\alpha, \beta)$。