[论文解读] Bicategorical fibration structures and stacks

Dorette Pronk, Michael A. Warren|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2013

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 18被引用 6

一句话总结

本文引入双范畴中的纤维对象系统与纤维化结构，以构建一个同伦双范畴 Ho(ℬ)，该范畴普遍地逆向弱等价，同时保持小同伦范畴与二元范畴结构。关键结果是，一个拓扑、微分或代数栈的2-范畴等价于预栈的同伦2-范畴，通过关联栈的纤维化替换实现。

ABSTRACT

The familiar construction of categories of fractions, due to Gabriel and Zisman, allows one to invert a class W of arrows in a category in a universal way. Similarly, bicategories of fractions allow one to invert a collection of arrows in a bicategory. In this case the arrows are inverted in the sense that they are made into equivalences. As with categories of fractions, bicategories of fractions suffer from the defect that they need not be locally small even when the bicategory in which W lives is locally small. Similarly, in the case where W is a class of arrows in a 2-category, the bicategory of fractions will not in general be a 2-category. In this paper we introduce two notions ---systems of fibrant objects and fibration systems--- which will allow us to associate to a bicategory B a homotopy bicategory Ho(B) in such a way that Ho(B) is the universal way to invert weak equivalences in B. This construction resolves both of the difficulties with bicategories of fractions mentioned above. We also describe a fibration system on the 2-category of prestacks on a site and prove that the resulting homotopy bicategory is the 2-category of stacks. Further examples considered include algebraic, differentiable and topological stacks.

研究动机与目标

• 解决分式双范畴的局限性，后者即使在原始双范畴是局部小或2-范畴时，也无法产生小同伦范畴或2-范畴。
• 通过纤维对象系统与纤维化结构，提供一个形式化框架，以普遍方式在双范畴中逆向弱等价。
• 通过关联栈的纤维化替换，将栈表征为预栈的同伦2-范畴。
• 统一处理拓扑、微分与代数栈，将其视为相对于局部弱等价的预栈的同伦范畴。
• 将类似模型的结构扩展至双范畴，以支持(∞,2)-与(∞,n)-范畴理论的发展。

提出的方法

• 在双范畴 ℬ 中引入纤维对象系统，包含弱等价类 𝒲、伪函子 Q: ℬ → ℬ（纤维化替换）以及一个分量属于 𝒲 的伪自然变换 η: 1ℬ ⇒ Q，满足因子分解条件。
• 将同伦双范畴 Ho(ℬ) 构造为 ℬ 关于 𝒲 的普遍局部化，确保当 ℬ 是局部小时，Ho(ℬ) 也具有小同伦范畴，且当 ℬ 是2-范畴时，Ho(ℬ) 也是2-范畴。
• 将纤维化结构定义为加强的纤维对象系统，包含额外的提升与因子分解性质，包括路径对象与因子分解引理。
• 将该框架应用于拓扑、微分或代数站点 𝒞 上的预栈2-范畴 PreSt(𝒞)，使用关联栈函子作为纤维化替换。
• 证明关联栈构造对任意带有图标的预栈 A，给出局部弱等价 A → Q(A,e)，使同伦双范畴能够分类栈。
• 通过相同的纤维化替换机制，建立拓扑、微分与代数站点下，栈2-范畴与 Ho(PreSt(𝒞)) 之间的等价关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一个弱等价的双范畴局部化，使得结果的同伦双范畴在原始双范畴为局部小时是局部小的，且当原始双范畴是2-范畴时，结果也是2-范畴？
• RQ2 如何利用关联栈的纤维化替换，将栈的2-范畴表征为预栈的同伦2-范畴？
• RQ3 除了纤维对象系统外，还需何种额外结构，才能确保双范畴中路径对象与因子分解引理的存在？
• RQ4 在拓扑、微分与代数设置下，能否通过统一的同伦理论框架，将栈理论统一起来？
• RQ5 双范畴中的纤维化结构能否作为模型结构的形式类比，以支持(∞,2)-与(∞,n)-范畴理论的发展？

主要发现

• 由具有纤维对象系统的双范畴 ℬ 构造的同伦双范畴 Ho(ℬ) 在 ℬ 局部小时也具有小同伦范畴，从而解决了分式双范畴的关键缺陷。
• 当 ℬ 是2-范畴时，Ho(ℬ) 也是2-范畴，确保了局部化保持了2-范畴结构。
• 对于站点 𝒞 上的预栈2-范畴 PreSt(𝒞)，关联栈构造提供了相对于局部弱等价的纤维化替换，从而构成一个纤维对象系统。
• 同伦2-范畴 Ho(PreSt(𝒞)) 与 𝒞 上的栈2-范畴 St(𝒞) 等价，确立了栈是预栈在局部弱等价下的普遍局部化。
• 该构造同样适用于拓扑、微分与代数栈，其中关联栈作为局部弱等价 A → Q(A,e) 对任意带有图标的预栈 A 成立。
• PreSt(𝒞) 上的纤维化结构确保了路径对象与因子分解引理的存在，从而支持在此设定下构造广义普遍主丛。