[论文解读] Bifurcation in entanglement renormalization group flow of a gapped spin model

Jeongwan Haah|DSpace@MIT (Massachusetts Institute of Technology)|Oct 16, 2013

Quantum many-body systems被引用 11

一句话总结

本文展示了三维立方体码模型的基态在有限深度量子线路作用下，经历分叉的纠缠重正化群（ERG）流，将间距为 $a$ 的晶格转化为间距为 $2a$ 的更粗晶格上两个不同能隙自旋模型——$H_A$ 和 $H_B$ 的张量积。关键结果是 $H_A$ 和 $H_B$ 代表不同的量子物相，其中 $H_B$ 进一步分解为自身的两个副本，揭示了长程拓扑序背后分层的、分叉的纠缠结构。

ABSTRACT

We study entanglement renormalization group transformations for the ground states of a spin model, called cubic code model $H_A$ in three dimensions, in order to understand long-range entanglement structure. The cubic code model has degenerate and locally indistinguishable ground states under periodic boundary conditions. In the entanglement renormalization, one applies local unitary transformations on a state, called disentangling transformations, after which some of the spins are completely disentangled from the rest and then discarded. We find a disentangling unitary to establish equivalence of the ground state of $H_A$ on a lattice of lattice spacing $a$ to the tensor product of ground spaces of two independent Hamiltonians $H_A$ and $H_B$ on lattices of lattice spacing $2a$. We further find a disentangling unitary for the ground space of $H_B$ with the lattice spacing $a$ to show that it decomposes into two copies of itself on the lattice of the lattice spacing $2a$. The disentangling transformations yield a tensor network description for the ground state of the cubic code model. Using exact formulas for the degeneracy as a function of system size, we show that the two Hamiltonians $H_A$ and $H_B$ represent distinct phases of matter.

研究动机与目标

• 理解三维立方体码模型基态的长程纠缠结构，该模型表现出局域不可区分性和与尺寸相关的简并度。
• 研究纠缠重正化群（ERG）变换是否能揭示该模型的底层物相结构，特别是考虑到其非平凡的拓扑序。
• 通过分析简并度的标度行为以及在局域酉变换下的ERG流行为，对所得物相进行分类。
• 通过解纠缠酉操作建立基态的张量网络描述，将系统分解为更粗晶格上的独立组分。

提出的方法

• 应用有限深度量子线路（局域酉变换）以解纠缠量子比特并粗粒化系统，将原始间距为 $a$ 的晶格映射到间距为 $2a$ 的更粗晶格。
• 推导出精确的解纠缠酉操作 $U$ 和 $V$，将 $H_A(a)$ 的基态变换为 $H_A(2a)$ 和 $H_B(2a)$ 基态的张量积，以及一个平凡的乘积态；类似地，将 $H_B(a)$ 的基态变换为两个 $H_B(2a)$ 基态的张量积。
• 利用基态简并度随系统尺寸变化的精确公式，区分 $H_A$ 和 $H_B$ 作为不同的量子物相。
• 采用一个引理，限制局域酉操作下冯诺依曼熵的变化，以分析分支MERA框架中纠缠熵的标度行为。
• 分析粗粒化态的熵标度，以确定ERG流的关键行为，特别是其对分支数和空间维度的依赖性。
• 证明ERG流导致一个分支结构，其中分支数 $b_n$ 按 $b^n$ 增长，$b$ 决定纠缠熵的标度行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 立方体码模型的纠缠重正化群流是否表现出分叉，导致在更粗晶格上出现多个不同的有效哈密顿量？
• RQ2 有限深度量子线路能否将立方体码模型的基态解纠缠为更粗晶格上独立哈密顿量的张量积？
• RQ3 所得哈密顿量 $H_A$ 和 $H_B$ 是否为物理上不同的物相，其简并度标度提供了明确证据？
• RQ4 在粗粒化系统中，纠缠熵如何标度，这对其底层量子物相结构有何含义？
• RQ5 在纠缠重正化群流中，分支结构起什么作用，它如何影响MERA框架中的熵标度？

主要发现

• 有限深度量子线路 $U$ 将 $H_A(a)$ 的基态映射为 $H_A(2a)$ 和 $H_B(2a)$ 基态的张量积，外加一个平凡乘积态，展示了分叉的ERG流。
• 另一条有限深度线路 $V$ 将 $H_B(a)$ 的基态映射为两个 $H_B(2a)$ 基态的张量积，表明 $H_B$ 物相具有自相似性。
• $H_A$ 和 $H_B$ 代表不同的量子物相，由其与系统尺寸相关的不同简并度标度所证实。
• 粗粒化态的纠缠熵标度为 $O(L^{D-1})$、$O(L^{D-1} an heta)$ 或 $O(L^{ ext{log}_2(b/2^{D-1})})$，具体取决于分支因子 $b$，其中 $D=3$ 对应该三维系统。
• 熵标度分析证实，分支MERA结构导致临界行为，其中分支数 $b_n$ 决定了纠缠结构的有效空间维度。
• 解纠缠酉操作提供了立方体码基态的精确张量网络表示，揭示了在不同长度尺度上分层的、自相似的纠缠模式。