[论文解读] Bifurcation results for a fractional elliptic equation with critical exponent in R^n

Serena Dipierro, María Medina+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2014

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 28被引用 8

一句话总结

该论文通过李雅普诺夫-施密特约化方法与一种新颖的分数阶正则性理论，证明了在 $\mathbb{R}^n$ 中，具有临界索博列夫指数和次临界扰动的分数阶椭圆方程存在正解。关键结果为：当 $\epsilon > 0$ 较小时，至少存在一个正解；当扰动 $h$ 变号且 $q > \frac{2s}{n-2s}$ 时，会出现第二个解。

ABSTRACT

In this paper we study some nonlinear elliptic equations in $\R^n$ obtained as a perturbation of the problem with the fractional critical Sobolev exponent, that is $$ (-Δ)^s u = ε\,h\,u^q + u^p \ {in}\R^n,$$ where $s\in(0,1)$, $n>4s$, $ε>0$ is a small parameter, $p=\frac{n+2s}{n-2s}$, $0

研究动机与目标

• 建立在 $\mathbb{R}^n$ 中具有临界指数和次临界扰动的分数阶椭圆方程正解的存在性。
• 分析当小参数 $\varepsilon > 0$ 变化时解的分岔行为，特别是当扰动 $h$ 具紧台集时的情形。
• 发展一种新的分数阶椭圆正则性理论，以处理能量泛函缺乏正则性的情形 $0 < q < 1$。
• 证明当 $h \geq 0$ 且 $h \not\equiv 0$ 时至少存在一个正解；当 $h$ 变号且 $q > \frac{2s}{n-2s}$ 时存在第二个解。

提出的方法

• 采用李雅普诺夫-施密特约化方法，将无限维问题约化为在基态解 $z_{\mu,\xi}$ 的流形上的有限维问题。
• 利用问题的变分结构及基态 $z_{\mu,\xi}$ 的非退化性，通过临界点理论构造解。
• 引入新的函数空间设定，以处理 $0 < q < 1$ 时能量泛函正则性缺失的问题，从而能够应用分数阶椭圆正则性理论。
• 通过渐近分析及控制收敛定理或 Fatou 引理，分析当 $\mu \to 0$ 时约化泛函 $\Gamma(\mu, \xi)$ 的行为。
• 在合适的紧集 $S$ 上建立 $\Gamma$ 的紧性及最大/最小值原理，以定位临界点。
• 应用命题 4.2 将约化泛函的临界点提升为原方程 $(-\Delta)^s u = \varepsilon h u_+^q + u_+^p$ 的解。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathbb{R}^n$ 中，分数阶椭圆方程 $(-\Delta)^s u = \varepsilon h u_+^q + u_+^p$ 在什么条件下对足够小的 $\varepsilon > 0$ 存在正解？
• RQ2 扰动 $h$ 的符号与紧台集如何影响从基态解分岔出的正解数量？
• RQ3 在分数阶临界问题背景下，处理 $0 < q < 1$ 情形所需的泛函分析与正则性工具是什么？
• RQ4 李雅普诺夫-施密特约化方法能否被推广至具有非光滑非线性项与临界增长的分数阶 PDE？
• RQ5 约化泛函 $\Gamma(\mu, \xi)$ 当 $\mu \to 0$ 时的渐近行为如何？其如何决定解的存在性？

主要发现

• 当 $n > 4s$，$\varepsilon > 0$ 足够小，$0 < q < p = \frac{n+2s}{n-2s}$，且 $h$ 连续、具有紧台集且 $h_+ \not\equiv 0$ 时，至少存在一个正解。
• 当 $0 < q \leq \frac{2s}{n-2s}$ 且 $h \geq 0$ 时，约化泛函 $\Gamma(\mu, \xi)$ 满足 $\lim_{\mu \to 0} \frac{\Gamma(\mu, \xi_0)}{\mu^{n - \gamma_s}} = +\infty$（当 $h(\xi_0) > 0$ 时），确保在参数域内部存在最大值。
• 当 $q > \frac{2s}{n-2s}$ 且 $h$ 变号时，泛函 $\Gamma$ 在参数域内部存在局部最小值，从而导致第二个正解的出现。
• 解的存在性通过有限维约化及临界点定理得以证明，其依赖于基态 $z_{\mu,\xi}$ 的非退化性。
• 对 $\Gamma(\mu, \xi)$ 的渐近分析依赖于当 $\mu \to 0$ 时 $h(\mu y + \xi_0) z_0^{q+1}(y)$ 在 $L^1$ 中收敛于 $h(\xi_0) z_0^{q+1}(y)$，该收敛性由控制收敛定理所保证。
• 论文构造了解 $u_{1,\varepsilon} = z_{\mu_*, \xi_*} + w(\varepsilon, z_{\mu_*, \xi_*})$，其为正解，并满足当 $\varepsilon \to 0$ 时收敛于基态。