[论文解读] Big Birkhoff sums in $d$-decaying Gauss like iterated function systems

Rams, Michal, Lingmin Liao+1 more|arXiv (Cornell University)|May 7, 2019

Mathematical Dynamics and FractalsMathematics参考文献 1被引用 20

一句话总结

本文研究了在 $d$-衰减的高斯型无限迭代函数系统中，Birkhoff 和的水平集的 Hausdorff 维数，推广了来自连分数展开的结果。研究发现，当势函数的增长速度快于多项式时，Birkhoff 和以给定递增速率增长的点集的维数为 $1/d$，将先前关于 Gauss 映射的结果推广，并证实了在指数型增长率下 $\alpha = 1/2$ 处存在相变。

ABSTRACT

The increasing rate of the Birkhoff sums in the infinite iterated function systems with polynomial decay of the derivative (for example the Gauss map) is studied. For different unbounded potential functions, the Hausdorff dimensions of the sets of points whose Birkhoff sums share the same increasing rate are obtained.

研究动机与目标

• 将 Birkhoff 和的多分形分析从经典的 Gauss 映射推广至一类广义的 $d$-衰减高斯型迭代函数系统。
• 确定 Birkhoff 和以指定速率增长的水平集的 Hausdorff 维数，特别是针对无界势函数的情形。
• 填补对指数型增长率 $\Phi(n) = \exp(n^\alpha)$ 且 $\alpha \in [1/2, 1)$ 的维数估计空白，证实 $\dim_H E(\Phi) = 1/2$。

提出的方法

• 作者定义了一个满足特定几何与导数衰减条件的 $d$-衰减高斯型迭代函数系统，推广了 Gauss 映射。
• 他们使用符号动力学与符号编码，将极限集中的点表示为 $\mathbb{N}^\mathbb{N}$ 中的无限序列，基本区间对应于柱集。
• 关键技术在于基于符号块频率构造嵌套的柱集集合，利用给定和约束下可接受块数的估计。
• 证明采用质量分布法，并使用修正的生成函数 $G(m,n,a,\varepsilon,s)$ 估计 $s$-维 Hausdorff 测度，该函数已根据衰减率 $d$ 进行调整。
• 对于上界，他们应用引理 2.4 和引理 2.5，证明当 $s > 1/d$ 时 $s$-测度为零，从而得到 $\dim_H \leq 1/d$。对于下界，他们通过逆像构造方法构建一个 Cantor 型子集，使其在 $s < 1/d$ 时具有正的 $s$-测度。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $d$-衰减的高斯型迭代函数系统中，Birkhoff 和以指定速率增长的点集的 Hausdorff 维数是多少？特别是对于一般势函数 $\varphi$ 的情形。
• RQ2 该维数如何依赖于归一化函数 $\Phi(n)$ 的增长率，特别是当 $\Phi(n) = \exp(n^\alpha)$ 且 $\alpha \in [1/2, 1)$ 时？
• RQ3 在 $\alpha = 1/2$ 处维数是否从 1 跳变至 $1/2$？当 $\alpha > 1/2$ 时情况如何？
• RQ4 Gauss 映射的结果能否推广至更广泛的具有导数多项式衰减的无限迭代函数系统？

主要发现

• 在 $d$-衰减的高斯型 IFS 中，当 $\Phi(n)$ 的增长速度快于多项式时，Birkhoff 和以 $\Phi(n)$ 速率增长的点集 $E_\varphi(\Phi)$ 的 Hausdorff 维数为 $1/d$。
• 当 $\Phi(n) = \exp(n^\alpha)$ 且 $\alpha \in [1/2, 1)$ 时，维数为 $1/2$，证实了在 $\alpha = 1/2$ 处存在相变。
• 当 $\Phi(n) = \exp(\beta^n)$ 且 $\beta > 1$ 时，维数为 $1/(\beta + 1)$，扩展了先前的结果。
• 对于满足特定增长与正则性条件的一般势函数 $\varphi$，在 $d$-衰减假设下，维数为 $1/d$。
• 通过估计柱集测度，证明了上界 $\dim_H \leq 1/d$，即当 $s > 1/d$ 时 $s$-维 Hausdorff 测度为零。
• 通过逆像构造与块频率控制，构建一个具有正 $s$-测度的子集，从而获得下界 $\dim_H \geq 1/d$。