[论文解读] Big I-functions

Ionuţ Ciocan-Fontanine, Bumsig Kim|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 13被引用 12

一句话总结

本文通过从带标记的 $ℚ^1$ 到 [W/G] 的拟映射图，引入了 GIT 商 W//G 的一种新大 I-函数，利用先前工作中得到的小 I-函数表达该大 I-函数。该大 I-函数在 Givental 的 Gromov-Witten 理论中猜想生成拉格朗日锥面，且当 W//G 允许具有良好性质的环面作用时，该猜想已得证明。

ABSTRACT

We introduce a new big I-function for certain GIT quotients W//G using the quasimap graph space from infinitesimally pointed $\mathbb{P}^1$ to the stack quotient [W/G]. This big I-function is expressible by the small I-function introduced in arXiv:0908.4446 [math.AG] and arXiv:1106.3724 [math.AG]. The I-function conjecturally generates the Lagrangian cone of Gromov-Witten theory for W//G defined by Givental. We prove the conjecture when W//G has a torus action with good properties.

研究动机与目标

• 通过 Gromov-Witten 理论中先前工作定义的小 I-函数，利用从无穷小标记的 $ℚ^1$ 到堆商 [W/G] 的拟映射图空间，定义某些 GIT 商 W//G 的新大 I-函数。
• 将大 I-函数表达为先前工作中定义的小 I-函数的形式。
• 猜想大 I-函数生成 W//G 的 Givental 形式主义中的拉格朗日锥面。
• 在 W//G 允许具有良好几何性质的环面作用时，证明该猜想。

提出的方法

• 利用参数化从无穷小标记的 $ℚ^1$ 到堆商 [W/G] 的拟映射图空间，构造大 I-函数。
• 将大 I-函数表达为 arXiv:0908.4446 和 arXiv:1106.3724 中先前定义的小 I-函数的变换形式。
• 利用 Givental 拉格朗日锥面的形式理论，将大 I-函数与 W//G 的 Gromov-Witten 潜能联系起来。
• 应用环面局部化技术，验证当 W//G 支持具有有限不动点和良好等变性质的环面作用时，该猜想成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过从带标记的 $ℚ^1$ 到 [W/G] 的拟映射图，为 GIT 商 W//G 构造一个大 I-函数？
• RQ2 该新大 I-函数与 Gromov-Witten 理论中先前工作的小 I-函数有何关系？
• RQ3 大 I-函数是否生成 Givental 形式主义中 W//G 的拉格朗日锥面？
• RQ4 在何种几何条件下，可证明大 I-函数生成拉格朗日锥面的猜想？

主要发现

• 通过从无穷小标记的 $ℚ^1$ 到 [W/G] 的拟映射图，明确构造了大 I-函数。
• 证明了大 I-函数可表示为 arXiv:0908.4446 和 arXiv:1106.3724 中小 I-函数的形式。
• 大 I-函数在猜想中生成了 W//G 的 Givental Gromov-Witten 理论的拉格朗日锥面。
• 当 W//G 允许具有有限不动点和有利等变性质的环面作用时，该猜想已得证明。