[论文解读] Tautological relations in moduli spaces of weighted pointed curves

Felix Janda|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 21被引用 18

一句话总结

本文通过稳定商几何，将 FZ 关系推广至加权点化曲线的模空间，推导出类似 FZ 的塔洛克关系。当所有权重为 1 时，这些关系可恢复为 Pixton 的广义 FZ 关系，并为 $\overline{M}_g$ 上的通用曲线的 $n$ 重积提供了 FZ 关系的表述。该构造使用形式幂级数、方括号算子及胶合映射的推出，且在权重减少映射下保持相容性。

ABSTRACT

Pandharipande-Pixton have used the geometry of the moduli space of stable quotients to produce relations between tautological Chow classes on the moduli space $M_g$ of smooth genus g curves. We study a natural extension of their methods to the boundary and more generally to Hassett's moduli spaces $\overline M_{g, w}$ of stable nodal curves with weighted marked points. Algebraic manipulation of these relations brings them into a Faber-Zagier type form. We show that they give Pixton's generalized FZ relations when all weights are one. As a special case, we give a formulation of FZ relations for the n-fold product of the universal curve over $M_g$.

研究动机与目标

• 将 FZ 关系推广至 Hassett 的加权点化稳定曲线模空间 $\overline{M}_{g,\mathbf{w}}$。
• 建立一种系统方法，利用稳定商几何推导这些模空间中的塔洛克关系。
• 证明所导出的关系在所有权重为 1 时退化为 Pixton 的广义 FZ 关系。
• 为 $\overline{M}_g$ 上的通用曲线的 $n$ 重积提供 FZ 关系的表述。
• 证明关系系统在形式推出、拉回及与塔洛克类相乘下封闭。

提出的方法

• 利用稳定商模空间的几何结构，在 $\overline{M}_{g,\mathbf{w}}$ 中生成塔洛克关系。
• 使用形式幂级数 $A(t)$、$B(t)$ 及与超几何和伯努利级数相关的递归定义的 $C_i(t)$。
• 应用方括号算子 $\{\}_{\kappa}^\zeta$、$\{\}_{\psi}^\zeta$ 和 $\{\}_{D_S}^\zeta$，将 $\kappa$、$\psi$ 和对角类插入幂级数。
• 在生成函数中构造顶点因子 $\mathrm{Vertex}^5_v$ 和边因子 $\mathrm{Edge}^5_e$，引入符号 $\zeta(v)$ 和权重。
• 通过包含胶合映射 $\xi_\Gamma$ 和自同构因子 $|\operatorname{Aut}(\Gamma)|^{-1}$ 的生成级数，提取极值系数以推导关系。
• 利用遗忘映射和权重减少映射的推出，关联不同权重数据 $\mathbf{w}$ 和 $\mathbf{w}'\leq\mathbf{w}$ 之间的关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过稳定商几何将 FZ 关系推广至加权点化曲线模空间 $\overline{M}_{g,\mathbf{w}}$？
• RQ2 在 $\overline{M}_{g,\mathbf{w}}$ 中导出的塔洛克关系在所有权重为 1 时是否退化为 Pixton 的广义 FZ 关系？
• RQ3 能否通过此方法为 $\overline{M}_g$ 上的通用曲线的 $n$ 重积提供 FZ 关系的表述？
• RQ4 该塔洛克关系系统在形式推出、拉回及与塔洛克类相乘下是否封闭？
• RQ5 关系在从 $\mathbf{w}$ 到 $\mathbf{w}'\leq\mathbf{w}$ 的权重减少映射下如何表现？

主要发现

• 当所有权重 $w_i = 1$ 时，$\overline{M}_{g,\mathbf{w}}$ 中导出的关系被证明等价于 Pixton 的广义 FZ 关系。
• 这些关系作为特例恢复了 $\overline{M}_g$ 上通用曲线的 $n$ 重积的 FZ 关系。
• $\mathcal{R}_{g,\mathbf{w}}$ 关系系统在遗忘映射和粘合映射的形式推出与拉回下封闭。
• 在权重减少映射 $\mathbf{w} \to \mathbf{w}'$ 下，关系的推出结果在常数因子内等于 $\mathcal{R}_{g,\mathbf{w}'}$ 中的对应关系。
• 关系与形式分量代数相容，并在指数 $e_\Gamma$ 非整数时对符号反转的着色 $\zeta \to -\zeta$ 保持不变。
• 该方法捕捉了所有极值稳定商关系，其余关系也预期可表达为 FZ 形式。